Exercício 8. (ELJ 51) Use a regra da cadeia para resolver os itens abaixo:
Mostre que se u: R^2 R, v: R^2 R e F: R^3 R são diferenciáveis, então omega: R^3 R dado por omega(x, y, z)=F(x, u(x, y), v(y, z)) é diferenciável. Calcule d omega(x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas funções diferenciáveis
;u:R^2toR,;v:R^2toR e ;F:R^3toR,
a composição
omega(x,y,z)=Fl(x,;u(x,y),;v(y,z)r)
é diferenciável e para calcular seu diferencial domega(x,y,z). Vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis.

Passo 2

Definimos
G:R^3toR^3, G(x,y,z)=l(x,;u(x,y),;v(y,z)r)
Como cada componente de G é combinação de projeções lineares e de u,v (todas diferenciáveis), G é diferenciável. Logo, omega=Fcirc G é diferenciável por composição de funções diferenciáveis.

Passo 3

Calculamos dG(x,y,z). Escrevendo G=(G1,G2,G3), temos
partial G1partial x=1,;partial G1partial y=0,;partial G1partial z=0, partial G2partial x=ux(x,y),;partial G2partial y=uy(x,y),;partial G2partial z=0, partial G3partial x=0,;partial G3partial y=vy(y,z),;partial G3partial z=vz(y,z)
Assim, para um incremento (h,k,ell) em R^3,
dG(x,y,z)(h,k,ell) =l(h,;ux(x,y),h + uy(x,y),k,;vy(y,z),k + vz(y,z),ellr)

Passo 4

Pela regra da cadeia em várias variáveis,
domega(x,y,z) = dFl(G(x,y,z)r),circ,dG(x,y,z)
Chamando
;dF(x1,x2,x3)=(Fx1,Fx2,Fx3)
os parciais de F no ponto (x1,x2,x3), e avaliando em l(x,u(x,y),v(y,z)r), para (h,k,ell) obtém-se
domega(x,y,z)(h,k,ell) &=Fx1,h +Fx2,l(ux,h+uy,kr) +Fx3,l(vy,k+vz,ellr)
onde Fxi=Fxil(x,u(x,y),v(y,z)r), ux,uy em (x,y) e vy,vz em (y,z).

Resposta

omega é diferenciável e seu diferencial no ponto (x,y,z) age sobre (h,k,ell) assim:
domega(x,y,z)(h,k,ell) =Fx1(x,u(x,y),v(y,z)),h +Fx2(x,u(x,y),v(y,z))l(ux(x,y),h+uy(x,y),kr) +Fx3(x,u(x,y),v(y,z))l(vy(y,z),k+vz(y,z),ellr)

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