Exercício 8. (ELJ 51) Use a regra da cadeia para resolver os itens abaixo:
Mostre que se
e
são diferenciáveis, então
dado por
é diferenciável. Calcule
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas funções diferenciáveis
e
a composição
a composição
é diferenciável e para calcular seu diferencial
. Vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis.
Passo 2
Definimos
Como cada componente de
é combinação de projeções lineares e de
(todas diferenciáveis),
é diferenciável. Logo,
é diferenciável por composição de funções diferenciáveis.
Passo 3
Calculamos
. Escrevendo
, temos
Assim, para um incremento
em
,
Passo 4
Pela regra da cadeia em várias variáveis,
Chamando
os parciais de no ponto
, e avaliando em
, para
obtém-se
os parciais de
onde
,
em
e
em
.