Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=2^infty 2-sen((3 n+1) pi)raiz[5]n^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=2^infty 2 - senl((3n+1)pir)raiz[5]n^2
O conteúdo aqui envolve simplificar a parte trigonométrica e depois usar o teste da série p (ou comparação com uma p-série).

Passo 2

Vamos simplificar senl((3n+1)pir). Como
senl(3npi + pir) =sen(3npi)cospi + cos(3npi)senpi =0cdot(-1) + (-1)^3ncdot0 =0,
segue que
senl((3n+1)pir)=0 forall,ninN

Passo 3

Substituindo no termo geral, fica
an =2 - 0raiz[5]n^2 =2n^2/5
Portanto a série original é
2sumn=2^infty 1n^2/5

Passo 4

Sabemos que a p-série
sumn=2^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=2/5<=1, logo
sumn=2^infty1n^2/5
é divergente. Multiplicar por 2 não muda essa conclusão.

Resposta

A série diverge.

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