Exercício 8 (ELJ 56)
Consideremos abaixo
uma função diferenciável.
a) Se
é convexo e
, para todo
. Mostre que
em
.
b) Se
e
em
, mostre que
é constante.
Consideremos abaixo
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável
. Na alínea (a),
é convexo e
em
; queremos mostrar que
. Na alínea (b),
e
em
; queremos mostrar que
é constante.
Passo 2
Para (a), fixamos um
qualquer e consideramos a função unidimensional
Como
para todo
, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que
é constante. Logo, para cada
, o valor de
não varia quando
muda.
Passo 3
Definimos então
onde
é um ponto fixo tal que
. Pelo passo anterior, para qualquer
basta
mostrando que
depende apenas de
em
.
Passo 4
Para (b), pelo resultado de (a) temos
em
. Como também
para todo
, segue que
é constante. Portanto
é constante em
.
Resposta
a)
em
.
b) é constante em
.
b)