Exercício 8 (ELJ 56)
Consideremos abaixo f: Omega subset R^2 R uma função diferenciável.
a) Se Omega é convexo e partial fpartial y(x, y)=0, para todo (x, y) in Omega. Mostre que f(x, y)=g(x) em Omega.
b) Se Omega=R^2 e partial fpartial x=partial fpartial y=0 em Omega, mostre que f é constante.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável fcolonOmegasubsetR^2toR. Na alínea (a), Omega é convexo e partial fpartial y=0 em Omega; queremos mostrar que f(x,y)=g(x). Na alínea (b), Omega=R^2 e partial fpartial x=partial fpartial y=0 em Omega; queremos mostrar que f é constante.

Passo 2

Para (a), fixamos um x qualquer e consideramos a função unidimensional
phi(y)=f(x,y)
Como
phi'(y)=partial fpartial y(x,y)=0
para todo y, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que phi é constante. Logo, para cada x, o valor de f(x,y) não varia quando y muda.

Passo 3

Definimos então
g(x)=f(x,y0),
onde y0 é um ponto fixo tal que (x,y0)inOmega. Pelo passo anterior, para qualquer (x,y)inOmega basta
f(x,y)=f(x,y0)=g(x),
mostrando que f depende apenas de x em Omega.

Passo 4

Para (b), pelo resultado de (a) temos f(x,y)=g(x) em R^2. Como também
partial fpartial x(x,y)=g'(x)=0
para todo x, segue que g é constante. Portanto f(x,y) é constante em R^2.

Resposta

a) f(x,y)=g(x) em Omega.
b) f é constante em R^2.

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