Exercício 1.4 Uma empresa dedica-se à venda de artigos eléctricos. As vendas diárias de gravadores (em unidades) são representadas por uma v.a. X com a seguinte função de probabilidade
f(x)=cl k(x+1) & , x=0,1,2,3,4 0 & , caso contrário á
  1. Determine o valor de k. Justifique a sua resposta. 1|15
  2. Calcule a função de distribuição da v.a. X.
  3. Calcule, através da função de probabilidade e da função de distribuição, a probabilidade de as vendas serem exactamente iguais a 3 gravadores, num dia em que estas foram pelo menos 2.

Passo 1

O enunciado define uma v.a. discreta
e pede (, ( ) obter a função de distribuição acumulada e ( ) calcular
Vamos usar (i) a condição de soma das probabilidades igual a , (ii) a definição de em variáveis discretas e (iii) a fórmula de probabilidade condicional

Passo 2

Para determinar k usamos
sumx=0^4f(x)=1 Longrightarrow sumx=0^4k(x+1)=1 Longrightarrow ksumi=1^5i=1
Como
sumi=1^5i=1+2+3+4+5=15,
segue
kcdot15=1 Longrightarrow k=115

Passo 3

A função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X<= x)=sumt<= xf(t)
Como X só assume valores inteiros de 0 a 4, temos
F(x)= 0,&x<0, 115,&0<= x<1, 1+215=315,&1<= x<2, 1+2+315=615,&2<= x<3, 1+2+3+415=1015,&3<= x<4, 1,&x>=4

Passo 4

Para a probabilidade condicional
P(X=3mid X>=2) =P(X=3;wed>=;X>=2)P(X>=2) =P(X=3)1-P(X<=1)
Sabemos P(X=3)=f(3)=tfrac115(3+1)=tfrac415 e
P(X<=1)=F(1)=315,
logo
P(X>=2)=1-315=1215=45
Portanto
P(X=3mid X>=2) =tfrac415tfrac1215 =415cdot1512 =13

Resposta

k = tfrac115
F(x)= 0,&x<0, 115,&0<= x<1, 315,&1<= x<2, 615,&2<= x<3, 1015,&3<= x<4, 1,&x>=4,
P(X=3mid X>=2)=13

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