Exercício 7 Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:
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Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x² + 1 (uma parábola), y = –1 (reta horizontal), x = –1 e x = 1 (retas verticais). O conteúdo é cálculo de área usando integrais definidas e vamos precisar identificar a curva superior, a inferior e integrar a diferença entre elas em relação a x.
Passo 2
Para resolver, observamos que para todo x entre –1 e 1 a parábola y = x² + 1 está acima da reta y = –1. Assim, a curva superior é y_sup = x² + 1 e a inferior é y_inf = –1. As retas x = –1 e x = 1 determinam os limites de integração.
Passo 3
Montamos a integral da área como a integral de (y_sup – y_inf) dx de x = –1 a x = 1.
Escrevendo no formato matemático:
Escrevendo no formato matemático:
Passo 4
Para integrar, separamos:
Calculamos cada parte:
Passo 5
Somando os resultados: