Exercício 7 Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=x^2+1, y=-1, x=-1, x=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x² + 1 (uma parábola), y = –1 (reta horizontal), x = –1 e x = 1 (retas verticais). O conteúdo é cálculo de área usando integrais definidas e vamos precisar identificar a curva superior, a inferior e integrar a diferença entre elas em relação a x.

Passo 2

Para resolver, observamos que para todo x entre –1 e 1 a parábola y = x² + 1 está acima da reta y = –1. Assim, a curva superior é y_sup = x² + 1 e a inferior é y_inf = –1. As retas x = –1 e x = 1 determinam os limites de integração.

Passo 3

Montamos a integral da área como a integral de (y_sup – y_inf) dx de x = –1 a x = 1.
Escrevendo no formato matemático:
A = integral-1^1l[(x^2+1) - (-1)r],dx = integral-1^1(x^2+2),dx

Passo 4

Para integrar, separamos:
integral-1^1(x^2+2),dx = integral-1^1x^2,dx + integral-1^12,dx
Calculamos cada parte:
integral-1^1x^2,dx = l[tfracx^33r]-1^1 = tfrac1^33 - tfrac(-1)^33 = tfrac13 - l(-tfrac13r) = tfrac23,
integral-1^12,dx = 2l[xr]-1^1 = 2(1 - (-1)) = 4

Passo 5

Somando os resultados:
A = tfrac23 + 4 = tfrac23 + tfrac123 = tfrac143

Resposta

143

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