Exercício 1 Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
f(x)=integral1^e^x ln t d t

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por uma integral onde o limite superior é e o integrando é . O conteúdo que vamos usar é a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais definidas com derivadas. Além disso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia porque o limite superior é uma função de .

Passo 2

Segundo a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por
F(x) = integrala^g(x) f(t) , dt
então a derivada de F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) é dada por
No nosso caso, e .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar f(g(x)) = ln(e^x) :
Sabemos que , porque o logaritmo natural e a exponencial são funções inversas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de g'(x) = ddx e^x = e^x :
A derivada de é ela mesma.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a regra da cadeia:
F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) = x cdot e^x

Resposta

A derivada da função é
F'(x) = x cdot e^x

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