Exercício 1 Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
f(x)=integral1^raizx t^2t^4+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral com limite superior que depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela nos diz que se temos uma função definida por uma integral como essa, , então a derivada de em relação a é . Isso significa que para derivar , primeiro avaliamos a função dentro da integral no limite superior e depois multiplicamos pela derivada de .

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é g(raizx) = (raizx)^2(raizx)^4 + 1 e o limite superior é u'(x) = ddx raizx = 12raizx . Então, vamos seguir os passos da fórmula:
  1. Avaliar em :
  2. Encontrar a derivada de :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
f'(x) = g(raizx) cdot u'(x) = (raizx)^2(raizx)^4 + 1 cdot 12raizx

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Calcular (raizx)^2 = x :
    (raizx)^4 = (x^1/2)^4 = x^2
  2. Calcular f'(x) = xx^2 + 1 cdot 12raizx = x(x^2 + 1) cdot 2raizx :
  3. Substituir na expressão de :

Passo 6

Podemos simplificar mais a expressão:
f'(x) = x2raizx(x^2 + 1) = raizx2(x^2 + 1)

Resposta

A derivada da função f'(x) = raizx2(x^2 + 1) é:

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