Se F=(2 x+y) i+(3 y-x) j, calcular integralC F cdot d r, onde C é a linha do plano xy formada pelas retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0),(2,0) e (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F = (2x + y)i + (3y - x)j ao longo de uma curva C no plano xy. A curva C é formada pelas retas que ligam os pontos (0,0), (2,0) e (3,2). Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha em Cálculo Vetorial, que basicamente soma os efeitos do campo vetorial ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é composta por duas partes:
  1. De (0,0) a (2,0)
  2. De (2,0) a (3,2)
Vamos calcular a integral de linha em cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro segmento, de (0,0) a (2,0). Nesse trecho, y é sempre 0. Podemos parametrizar essa reta como:
r1(t) = (t, 0)
onde t varia de 0 a 2.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dr1, que é a derivada de r1(t) em relação a t:
dr1 = (1, 0)dt

Passo 5

Substituímos x = t e y = 0 na expressão do campo vetorial F:
F = (2t + 0)i + (3 cdot 0 - t)j = (2t)i - tj

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot dr1:
F cdot dr1 = (2t)(1) + (-t)(0) = 2t

Passo 7

Agora, integramos 2t de t = 0 a t = 2:
integral0^2 2t , dt = [ t^2 ]0^2 = 2^2 - 0^2 = 4

Passo 8

Vamos para o segundo segmento, de (2,0) a (3,2). Para parametrizar essa reta, observamos que:
  • Quando t = 0, estamos em (2,0)
  • Quando t = 1, estamos em (3,2)
Então, a parametrização fica:
r2(t) = (2 + t, 0 + 2t)
onde t varia de 0 a 1.

Passo 9

Encontramos dr2:
dr2 = (1, 2)dt

Passo 10

Substituímos x = 2 + t e y = 2t no campo vetorial F:
F = [2(2 + t) + 2t]i + [3(2t) - (2 + t)]j = (4 + 2t + 2t)i + (6t - 2 - t)j = (4 + 4t)i + (5t - 2)j

Passo 11

Calculamos o produto escalar F cdot dr2:
F cdot dr2 = (4 + 4t)(1) + (5t - 2)(2) = 4 + 4t + 10t - 4 = 14t

Passo 12

Integramos 14t de t = 0 a t = 1:
integral0^1 14t , dt = [ 7t^2 ]0^1 = 7(1)^2 - 7(0)^2 = 7

Resposta

Somando as integrais dos dois segmentos, temos:
4 + 7 = 11
Portanto, integralC F cdot dr = 11.

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