Se
, calcular
, onde
é a linha do plano xy formada pelas retas que ligam sucessivamente os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
no plano
. A curva
é formada pelas retas que ligam os pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha em Cálculo Vetorial, que basicamente soma os efeitos do campo vetorial ao longo de um caminho específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é composta por duas partes:
- De
a - De
a
Vamos calcular a integral de linha em cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro segmento, de
a
. Nesse trecho,
é sempre 0. Podemos parametrizar essa reta como:
onde
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na expressão do campo vetorial
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos
de
a
:
Passo 8
Vamos para o segundo segmento, de
a
. Para parametrizar essa reta, observamos que:
- Quando
, estamos em - Quando
, estamos em
Então, a parametrização fica:
onde
Passo 9
Encontramos
:
Passo 10
Substituímos
e
no campo vetorial
:
Passo 11
Calculamos o produto escalar
:
Passo 12
Integramos
de
a
:
Resposta
Somando as integrais dos dois segmentos, temos:
Portanto,