Exercício 7 Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=x^2 ln x, y=4 ln x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^2ln x e y=4ln x. Vamos usar o conteúdo de integrais definidas e diferença de funções para calcular essa área.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos x^2ln x = 4ln x. Colocando em evidência ln x:
(x^2 - 4)ln x = 0
Isso dá ln x = 0 (logo x=1) ou x^2-4=0 (logo x=2, descartando x=-2 pois x>0).

Passo 3

Para saber qual curva está por cima em [1,2], avaliamos em um ponto, digamos x=1.5:
x^2ln x approx 2.25times0.405=0.91, 4ln x approx4times0.405=1.62
Então em [1,2] temos 4ln x acima de x^2ln x.

Passo 4

A área procurada é
A=integral1^2l(4ln x - x^2ln xr),dx

Passo 5

Calculemos integral1^24ln x,dx por partes: seja u=ln x, dv=4,dx. Então du=tfrac1xdx e v=4x. Assim
integral4ln x,dx=4xln x-integral4xcdottfrac1x,dx=4xln x-4x
Avaliado de 1 a 2:
l[4xln x-4xr]1^2=l(8ln2-8r)-l(0-4r)=8ln2-4

Passo 6

Agora integral1^2x^2ln x,dx. Por partes: u=ln x, dv=x^2dx du=tfrac1xdx, v=tfracx^33. Então
integral x^2ln x,dx=x^33ln x-integralx^33cdot1x,dx=x^33ln x-13integral x^2,dx =x^33ln x-x^39
Avaliado de 1 a 2:
l[tfracx^33ln x-tfracx^39r]1^2=l(tfrac83ln2-tfrac89r)-l(0-tfrac19r)=83ln2-79

Passo 7

Substituindo em A:
A=(8ln2-4)-l(tfrac83ln2-tfrac79r)=163ln2-299= rac48ln2-299

Resposta

A=48ln2-299

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