Exercício 4.8.1 Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
g(y)=\ln (|\operatorname{sen}(5 y)|)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(y)=\ln\bigl|\sin(5y)\bigr|.
Para isso vamos usar dois conceitos principais: a regra da cadeia e a derivada da função \ln|u|, que é
\frac{d}{dy}\ln|u(y)|=\frac{u'(y)}{u(y)}.

Passo 2

Defina u(y)=\sin(5y). Então
g(y)=\ln\bigl|u(y)\bigr|
e, pela regra da cadeia para \ln|u|, temos
g'(y)=\frac{u'(y)}{u(y)}.
Agora calcule u'(y) usando a regra da cadeia em u(y)=\sin(5y):
u'(y)=\cos(5y)\cdot\frac{d}{dy}(5y)=5\cos(5y).

Passo 3

Substituindo em
g'(y)=\frac{u'(y)}{u(y)}
vem
g'(y)=\frac{5\cos(5y)}{\sin(5y)}.
Podemos ainda reconhecer a cotangente:

Resposta

g'(y)=5\cot(5y).

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