1. No exercício 6, encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e mostre que f_{x y}=f_{y x}
    f(x, y)=x \sqrt{y}+y \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y)=x\sqrt{y}+y\sqrt{x},
e mostrar que as derivadas mistas satisfazem
f_{xy}=f_{yx}.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e o Teorema de Schwarz (ou Clairaut) para trocar a ordem de derivação. Vamos tratar, em cada derivada, uma variável como constante e aplicar a regra do produto e da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para \displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante:
– A derivada de x\sqrt{y} em relação a x é simplesmente \sqrt{y}.
– A derivada de y\sqrt{x}=y\,x^{1/2} em relação a x é
y\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{y}{2\sqrt{x}}.
Logo,
f_x=\sqrt{y}+\frac{y}{2\sqrt{x}}.
Para \displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante:
– A derivada de x\sqrt{y}=x\,y^{1/2} em relação a y é
x\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{x}{2\sqrt{y}}.
– A derivada de y\sqrt{x} em relação a y é \sqrt{x}.
Portanto,
f_y=\frac{x}{2\sqrt{y}}+\sqrt{x}.

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem a partir de f_x.
Para \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_x\bigr):
\sqrt{y} é constante em relação a x, e
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{y}{2\sqrt{x}}\Bigr) =y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac12x^{-1/2}\bigr) =y\cdot\Bigl(-\tfrac1{4}x^{-3/2}\Bigr) =-\frac{y}{4\,x^{3/2}}.
Então
f_{xx}=-\frac{y}{4\,x^{3/2}}.
Para \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr):
\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(\sqrt{y}\bigr) =\frac1{2\sqrt{y}}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{y}{2\sqrt{x}}\Bigr) =\frac1{2\sqrt{x}}.
Logo
f_{xy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem a partir de f_y.
Para \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_y\bigr):
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{y}}\Bigr) =x\cdot\Bigl(-\tfrac1{4}y^{-3/2}\Bigr) =-\frac{x}{4\,y^{3/2}},
e \sqrt{x} é constante em relação a y. Então
f_{yy}=-\frac{x}{4\,y^{3/2}}.
Para \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_y\bigr):
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{x}{2\sqrt{y}}\Bigr) =\frac1{2\sqrt{y}}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(\sqrt{x}\bigr) =\frac1{2\sqrt{x}}.
Portanto
f_{yx}=\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Comparando as mistas, vemos que
f_{xy} =\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{2\sqrt{x}} \quad\text{e}\quad f_{yx} =\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{2\sqrt{x}},
logo
f_{xy}=f_{yx},
confirmando o Teorema de Schwarz.

Resposta

f_x=\sqrt{y}+\dfrac{y}{2\sqrt{x}}
f_y=\dfrac{x}{2\sqrt{y}}+\sqrt{x}
f_{xx}=-\dfrac{y}{4\,x^{3/2}}
f_{yy}=-\dfrac{x}{4\,y^{3/2}}
f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

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