Considere a série \frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}
(a) Calcule o valor das 3 (três) primeiras somas parciais. ( 0,5 \mathrm{pts} )
(b) Caso a série convirja, qual é a soma ( 1,5 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}
e pede em (a) as três primeiras somas parciais e em (b) a soma caso a série convirja. Vamos usar telescopia (frações parciais) para entender o comportamento e obter a soma no infinito.

Passo 2

Calculamos diretamente as três primeiras somas parciais:
\displaystyle S_{1}=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}.
\displaystyle S_{2}=\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2+1}{12}=\frac{1}{4}.
\displaystyle S_{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4\cdot5}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{5+1}{20}=\frac{3}{10}.

Passo 3

Para a soma geral, escrevemos o termo genérico em frações parciais:
\frac{1}{(n+1)(n+2)} =\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}.
Igualando numeradores:
1 = A(n+2)+B(n+1).
Para n=-1 vem 1=A, e para n=-2 vem 1=-B, logo
\frac{1}{(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.

Passo 4

Somando de n=1 até n=N (telescopia):
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\Bigr) =\bigl(\tfrac12-\tfrac13\bigr)+\bigl(\tfrac13-\tfrac14\bigr)+\cdots+\bigl(\tfrac{1}{N+1}-\tfrac{1}{N+2}\bigr) =\frac12-\frac{1}{N+2}.
Fica evidente que, quando N\to\infty,
S_{N}\to \frac12.

Resposta

(a) \displaystyle S_{1}=\tfrac{1}{6},\quad S_{2}=\tfrac{1}{4},\quad S_{3}=\tfrac{3}{10}.
(b) A série converge e sua soma é \displaystyle \tfrac{1}{2}.

Exercícios relacionados