Escreva a dízima periódica 3,5212121 \ldots como uma série e encontre a fração irredutível correspondente (2,0 pts).

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica 3,5212121\ldots como uma série infinita e depois converter essa série em uma fração irredutível. O conteúdo necessário é a representação de dízima periódica por séries geométricas e a soma de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, separamos x=3,5212121\ldots em parte inteira, parte decimal finita e parte periódica:
x = 3 + 0,5 + 0,02121212\ldots

Passo 3

A parte periódica 0,02121212\ldots pode ser vista como soma de termos que formam uma série geométrica. Note que
0,02121212\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} 0,021 \cdot (0,01)^{\,k-1}.
Em termos de potências de dez, isso equivale a
0,02121212\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{21}{10^{2k+1}}.

Passo 4

Reconhecemos uma série geométrica de primeiro termo a=0,021 e razão r=0,01. A soma dessa série é
\frac{a}{1-r} =\frac{0,021}{1-0,01} =\frac{0,021}{0,99}.
Convertendo para fração:
0,021 = \frac{21}{1000}, \quad 0,99 = \frac{99}{100},
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\frac{0,021}{0,99} =\frac{\tfrac{21}{1000}}{\tfrac{99}{100}} =\frac{21}{1000}\cdot\frac{100}{99} =\frac{21}{990} =\frac{7}{330}.

Passo 5

Agora reunimos tudo:
x = 3 + \frac{5}{10} + \frac{7}{330} = 3 + \frac{1}{2} + \frac{7}{330}.
Colocando sobre o mesmo denominador 330:
3 = \frac{3\cdot330}{330} = \frac{990}{330}, \quad \frac{1}{2} = \frac{165}{330},
então
x = \frac{990}{330} + \frac{165}{330} + \frac{7}{330} = \frac{990 + 165 + 7}{330} = \frac{1162}{330} = \frac{581}{165},
onde \gcd(581,165)=1, de modo que está irredutível.

Resposta

\frac{581}{165}

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