Escreva a dízima periódica
como uma série e encontre a fração irredutível correspondente (2,0 pts).
Passo 1
O enunciado pede para escrever a dízima periódica
como uma série infinita e depois converter essa série em uma fração irredutível. O conteúdo necessário é a representação de dízima periódica por séries geométricas e a soma de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, separamos
em parte inteira, parte decimal finita e parte periódica:
Passo 3
A parte periódica
pode ser vista como soma de termos que formam uma série geométrica. Note que
Em termos de potências de dez, isso equivale a
Passo 4
Reconhecemos uma série geométrica de primeiro termo
e razão
. A soma dessa série é
Convertendo para fração:
logo
Passo 5
Agora reunimos tudo:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
então
onde
, de modo que está irredutível.