Exercício 5. Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^{7}+6 x^{6}+x^{5}+3 x^{3}+x^{2}+\pi

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as derivadas (ou seja, a derivada primeira) da função
f(x)=x^{7}+6 x^{6}+x^{5}+3 x^{3}+x^{2}+\pi.
Informações dadas:
  • A função é um polinômio (soma de potências de x e uma constante \pi).
  • É preciso calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.
    Não há outras informações ou restrições.

Passo 2

O que é derivada (intuição rápida): a derivada de f em um ponto mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico. A definição por limite é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Essa definição é boa para entender o conceito, mas na prática para funções polinomiais usamos regras que tornam os cálculos diretos e rápidos.

Passo 3

Regras básicas que usaremos (todas são consequência da definição por limite):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
\text{Se } g(x)=u(x)+v(x),\quad\text{então } g'(x)=u'(x)+v'(x).ã
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada.
\text{Se } g(x)=c\cdot u(x)\\ (\text{com }c\text{ constante}),\quad\text{então } g'(x)=c\cdot u'(x).ã
  • Derivada de constante: a derivada de uma constante é zero.
\text{Se } g(x)=C\\ (\text{constante}),\quad g'(x)=0.
  • Regra da potência (caso importante para polinômios): para inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Vamos justificar a regra da potência de forma simples no próximo passo.

Passo 4

Justificativa rápida da regra da potência para n inteiro positivo (idéia): usar o binômio de Newton para expandir (x+h)^n.
(x+h)^n = x^n + n x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\cdots + h^n.
Então
\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=n x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h+\cdots + h^{\,n-1}.
Ao fazer h\to0 todos os termos que têm fator h somam zero, ficando somente
\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=n x^{n-1}.
Isso prova a regra da potência para n inteiro positivo. Por isso, para cada termo x^k do polinômio a derivada é k x^{k-1}.

Passo 5

Aplicando as regras termo a termo (usando soma, fator constante e potência):
  • Derivada de \,x^{7}: pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{7}\bigr)=7x^{6}.
  • Derivada de \,6x^{6}: a constante 6 sai da derivada e aplica-se a regra da potência a x^{6},
\frac{d}{dx}\bigl(6x^{6}\bigr)=6\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr)=6\cdot 6x^{5}=36x^{5}.
  • Derivada de \,x^{5}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4}.
  • Derivada de \,3x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{3}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3\cdot 3x^{2}=9x^{2}.
  • Derivada de \,x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Derivada de \,\pi (constante): pela regra da derivada de constante,
\frac{d}{dx}\bigl(\pi\bigr)=0.

Passo 6

Somando todas as derivadas (regra da soma), obtemos f'(x):
f'(x)=7x^{6}+36x^{5}+5x^{4}+9x^{2}+2x+0.
Podemos omitir o +0, ficando a forma final simplificada.

Passo 7

Comentário final e incentivo: deu trabalho explicitar passo a passo, mas a ideia central é memorizar (e praticar) as regras: derivada de x^n é n x^{n-1}, constants desaparecem, e aplica-se soma/fator constante. Com isso, polinômios como este viram distância curta na prova. Você consegue!

Resposta

f'(x)=7x^{6}+36x^{5}+5x^{4}+9x^{2}+2x

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