Exercício 5. Encontre as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as derivadas (ou seja, a derivada primeira) da função
Informações dadas:
- A função é um polinômio (soma de potências de
e uma constante ). - É preciso calcular
, a derivada de em relação a .
Não há outras informações ou restrições.
Passo 2
O que é derivada (intuição rápida): a derivada de
em um ponto mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
— geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico. A definição por limite é
Essa definição é boa para entender o conceito, mas na prática para funções polinomiais usamos regras que tornam os cálculos diretos e rápidos.
Passo 3
Regras básicas que usaremos (todas são consequência da definição por limite):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada.
- Derivada de constante: a derivada de uma constante é zero.
- Regra da potência (caso importante para polinômios): para inteiro positivo
,
Vamos justificar a regra da potência de forma simples no próximo passo.
Passo 4
Justificativa rápida da regra da potência para
inteiro positivo (idéia): usar o binômio de Newton para expandir
.
Então
Ao fazer
todos os termos que têm fator
somam zero, ficando somente
Isso prova a regra da potência para
inteiro positivo. Por isso, para cada termo
do polinômio a derivada é
.
Passo 5
Aplicando as regras termo a termo (usando soma, fator constante e potência):
- Derivada de
: pela regra da potência,
- Derivada de
: a constante sai da derivada e aplica-se a regra da potência a ,
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
(constante): pela regra da derivada de constante,
Passo 6
Somando todas as derivadas (regra da soma), obtemos
:
Podemos omitir o
, ficando a forma final simplificada.
Passo 7
Comentário final e incentivo: deu trabalho explicitar passo a passo, mas a ideia central é memorizar (e praticar) as regras: derivada de
é
, constants desaparecem, e aplica-se soma/fator constante. Com isso, polinômios como este viram distância curta na prova. Você consegue!