Exercício 5. Encontre as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas e domínio: a função envolve
, que só está definida para
. Além disso
em
, logo a função e sua derivada não existem em
. Portanto o domínio considerado é
com
. A única pergunta é: calcular
.
Passo 2
Escolha do método: é conveniente reescrever a função como produto para usar a regra do produto e a regra da cadeia de forma clara. Reescrevendo,
Também poderia usar a regra do quociente diretamente, mas o caminho com produto + cadeia costuma ser mais modular e menos sujeito a erros de sinais, por isso vou usá-lo.
Passo 3
Relembrando as fórmulas que usarei (explicadas com calma):
- Derivada da potência simples: para
vale . Aqui, para obtemos . - Derivada do logaritmo natural:
para . - Regra do produto: se
então
- Regra da cadeia: se
então . Em particular, para tomamos e . Então e , logo
Passo 4
Aplicando a regra do produto com
e
:
Substituindo as derivadas conhecidas:
Passo 5
Agora simplificar passo a passo a expressão obtida. Primeiro simplificar o segundo termo multiplicando
por
:
Portanto
Passo 6
Colocar em fator comum e juntar em uma única fração para ficar mais elegante e fácil de usar na prova. Fatorando
:
Colocando no mesmo denominador
:
Essa é a forma simplificada final. Lembre-se: válida para
e
.