Exercício 5. Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{4}}{\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{x^{4}}{\ln(x)}.
Informações dadas e domínio: a função envolve \ln(x), que só está definida para x>0. Além disso \ln(x)=0 em x=1, logo a função e sua derivada não existem em x=1. Portanto o domínio considerado é x>0 com x\neq1. A única pergunta é: calcular f'(x).

Passo 2

Escolha do método: é conveniente reescrever a função como produto para usar a regra do produto e a regra da cadeia de forma clara. Reescrevendo,
f(x)=x^{4}\big(\ln(x)\big)^{-1}.
Também poderia usar a regra do quociente diretamente, mas o caminho com produto + cadeia costuma ser mais modular e menos sujeito a erros de sinais, por isso vou usá-lo.

Passo 3

Relembrando as fórmulas que usarei (explicadas com calma):
  • Derivada da potência simples: para u(x)=x^{n} vale u'(x)=n x^{n-1}. Aqui, para x^{4} obtemos \dfrac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} para x>0.
  • Regra do produto: se F(x)=u(x)\,v(x) então
F'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Regra da cadeia: se v(x)=g(h(x)) então v'(x)=g'(h(x))\,h'(x). Em particular, para v(x)=\big(\ln(x)\big)^{-1} tomamos g(u)=u^{-1} e h(x)=\ln(x). Então g'(u)=-u^{-2} e h'(x)=1/x, logo
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)^{-1}=-\big(\ln(x)\big)^{-2}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto com u(x)=x^{4} e v(x)=\big(\ln(x)\big)^{-1}:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo as derivadas conhecidas:
f'(x)=4x^{3}\big(\ln(x)\big)^{-1}+x^{4}\left(-\big(\ln(x)\big)^{-2}\cdot\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Agora simplificar passo a passo a expressão obtida. Primeiro simplificar o segundo termo multiplicando x^{4} por -\dfrac{1}{x}:
x^{4}\left(-\big(\ln(x)\big)^{-2}\cdot\frac{1}{x}\right)=-x^{3}\big(\ln(x)\big)^{-2}.
Portanto
f'(x)=4x^{3}\big(\ln(x)\big)^{-1}-x^{3}\big(\ln(x)\big)^{-2}.

Passo 6

Colocar em fator comum e juntar em uma única fração para ficar mais elegante e fácil de usar na prova. Fatorando x^{3}:
f'(x)=x^{3}\left(4\big(\ln(x)\big)^{-1}-\big(\ln(x)\big)^{-2}\right).
Colocando no mesmo denominador \big(\ln(x)\big)^{2}:
f'(x)=x^{3}\cdot\frac{4\ln(x)-1}{\big(\ln(x)\big)^{2}}.
Essa é a forma simplificada final. Lembre-se: válida para x>0 e x\neq1.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{3}\big(4\ln(x)-1\big)}{\big(\ln(x)\big)^{2}}

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