Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
l (y^5+3 x^3 y^2+2 x^2 y^3) d yd x=3 x^2 y^3+2 x y^4 y(0)=1
Qual a solução geral dessa EDO ?

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
l(y^5+3x^3y^2+2x^2y^3r),dydx =3x^2y^3+2x,y^4, y(0)=1
Isso é uma EDO de primeira ordem cujos termos são homogêneos de mesmo grau. Vamos reconhecer o tipo homogêneo, usar a substituição y=vx e depois separar variáveis para integrar.

Passo 2

Reescrevendo
dydx =3x^2y^3+2x,y^4y^5+3x^3y^2+2x^2y^3
note que numerador e denominador são homogêneos de grau 5. Logo podemos pôr
y=vx, dydx=v+xdvdx

Passo 3

Substituindo y=vx em tfracdydx:
v+xdvdx =x^3v(3+2v)x^3(v^3+2v+3) =v(3+2v)v^3+2v+3
Isolando dv/dx e separando variáveis:
xdvdx =v(3+2v)v^3+2v+3-v =-v^4v^3+2v+3,
v^3+2v+3v^4,dv =-dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(v^-1+2v^-3+3v^-4r)dv =integral -dxx,
o que dá
ln|v|-v^-2-v^-3 =-ln|x|+C
Voltando a v=y/x e usando ln|v|+ln|x|=ln|y|, obtemos a solução implícita geral
ln|y| -x^2y^2 -x^3y^3 =C

Passo 5

Para satisfazer y(0)=1 fazemos x=0,y=1 na solução implícita e vemos que C=0. Assim, a solução particular do PVI fica
ln|y| -x^2y^2 -x^3y^3 =0

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
ln|y| -x^2y^2 -x^3y^3 =C,
e a solução particular que satisfaz y(0)=1 é
ln|y| -x^2y^2 -x^3y^3 =0

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