Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
Qual a solução geral dessa EDO ?
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Isso é uma EDO de primeira ordem cujos termos são homogêneos de mesmo grau. Vamos reconhecer o tipo homogêneo, usar a substituição
e depois separar variáveis para integrar.
Passo 2
Reescrevendo
note que numerador e denominador são homogêneos de grau 5. Logo podemos pôr
Passo 3
Substituindo
em
:
Isolando
e separando variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
o que dá
Voltando a
e usando
, obtemos a solução implícita geral
Passo 5
Para satisfazer
fazemos
na solução implícita e vemos que
. Assim, a solução particular do PVI fica
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por
e a solução particular que satisfaz
é