Exercício 1. Encontre as equações geral, vetorial e paramétricas do plano passando pelos pontos e .
Passo 1
O enunciado pede as equações geral, vetorial e paramétricas do plano que passa pelos pontos , e . O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos usar vetores diretores para a parametrização e produto vetorial para obter o vetor normal e a equação geral.
Passo 2
Calcular os vetores diretores do plano:
AC = C - A = (1-2,;2-1,;4-0) = (-1,1,4)
Passo 3
O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial ABtimesAC. Calculando,
n = i & j & k 1 & 2 & 2 -1 & 1 & 4 =(2cdot4 - 2cdot1)i - (1cdot4 - 2cdot(-1))j + (1cdot1 - 2cdot(-1))k =6,i-6,j+3,k
Podemos simplificar dividindo por 3:
n=(2,-2,1)
Passo 4
A equação geral do plano usa ncdot(r-r0)=0 com r=(x,y,z) e r0=(2,1,0). Assim,
2(x-2)-2(y-1)+1,(z-0)=0
2x-4-2y+2+z=0
2x-2y+z-2=0
Passo 5
A equação vetorial do plano parte de um ponto e dois vetores diretores:
r = (2,1,0) + s,(1,2,2) + t,(-1,1,4), s,tinR
Passo 6
Das componentes da equação vetorial obtemos as equações paramétricas: