Exercício 1. Encontre as equações geral, vetorial e paramétricas do plano passando pelos pontos A(2,1,0), B(3,3,2) e C(1,2,4).

Passo 1

O enunciado pede as equações geral, vetorial e paramétricas do plano que passa pelos pontos A(2,1,0), B(3,3,2) e C(1,2,4). O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos usar vetores diretores para a parametrização e produto vetorial para obter o vetor normal e a equação geral.

Passo 2

Calcular os vetores diretores do plano:
AB = B - A = (3-2,;3-1,;2-0) = (1,2,2),
AC = C - A = (1-2,;2-1,;4-0) = (-1,1,4)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial ABtimesAC. Calculando,
n = i & j & k 1 & 2 & 2 -1 & 1 & 4 =(2cdot4 - 2cdot1)i - (1cdot4 - 2cdot(-1))j + (1cdot1 - 2cdot(-1))k =6,i-6,j+3,k
Podemos simplificar dividindo por 3:
n=(2,-2,1)

Passo 4

A equação geral do plano usa ncdot(r-r0)=0 com r=(x,y,z) e r0=(2,1,0). Assim,
2(x-2)-2(y-1)+1,(z-0)=0
2x-4-2y+2+z=0
2x-2y+z-2=0

Passo 5

A equação vetorial do plano parte de um ponto e dois vetores diretores:
r = (2,1,0) + s,(1,2,2) + t,(-1,1,4), s,tinR

Passo 6

Das componentes da equação vetorial obtemos as equações paramétricas:
x = 2 + s - t, y = 1 + 2s + t, z = 0 + 2s + 4t

Resposta

Equação geral do plano:
2x - 2y + z - 2 = 0
Equação vetorial do plano:
r = (2,1,0) + s,(1,2,2) + t,(-1,1,4)
Equações paramétricas:
x = 2 + s - t, y = 1 + 2s + t, z = 2s + 4t

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