Exercício 0.5 Encontre os extremos absolutos das funções no intervalo indicado:
g(t)=t^4-8 t^2+16, em [-4,0].

Passo 1

O problema pede pra gente encontrar os extremos absolutos de g(t)=t^4-8t^2+16 no intervalo fechado [-4,0]. Isso faz parte do conteúdo de extremos de funções em um intervalo, onde a gente precisa calcular a derivada, achar os pontos críticos dentro do intervalo e comparar os valores da função nesses pontos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a derivada g'(t) e encontra os pontos críticos:
g'(t)=ddtl(t^4-8t^2+16r)=4t^3-16t=4t(t^2-4)

Passo 3

Agora igualamos a derivada a zero pra achar os pontos críticos:
4t(t^2-4)=0Longrightarrow t=0,;t=2,;t=-2

Passo 4

Desses, só t=0 e t=-2 estão dentro de [-4,0] (o t=2 fica fora).

Passo 5

Em seguida avaliamos g(t) em cada ponto relevante:
  • Em t=-4: g(-4)=(-4)^4-8(-4)^2+16=256-128+16=144
  • Em t=-2: g(-2)=(-2)^4-8(-2)^2+16=16-32+16=0
  • Em t=0: g(0)=0^4-8cdot0^2+16=16
Agora basta comparar: o menor valor é 0 em t=-2 e o maior é 144 em t=-4.

Resposta

Mínimo absoluto: g(-2)=0. Máximo absoluto: g(-4)=144.

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