Exercício 0.5 Encontre os extremos absolutos das funções no intervalo indicado: .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função no intervalo . Isso cai em conteúdo de cálculo de funções: lembrar que, em intervalo fechado, extremos absolutos podem ocorrer em pontos críticos (onde ou indefinida) ou nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar . Note que para temos , então
Passo 3
Agora calculamos a derivada para encontrar pontos críticos. Aplicando a regra da cadeia em (6-t)^2/3:
h'(t)=23(6-t)^-1/3cdot(-1)=-23(6-t)^-1/3
Passo 4
Observamos que h'(t) nunca é zero (o numerador é constante -2/3) e só seria indefinida em t=6, que não está no nosso intervalo [0,5]. Logo, não há pontos críticos internos.
Passo 5
Sobram então apenas os extremos do intervalo. Avaliando em t=0 e t=5:
h(0)=(6-0)^2/3=6^2/3,
h(5)=(6-5)^2/3=1^2/3=1
Passo 6
Comparando, h(0)=6^2/3approx3,30 é o maior valor e h(5)=1 é o menor valor no intervalo.
Resposta
O valor mínimo é 1, atingido em t=5. O valor máximo é 6^{2/3}, atingido em t=0.