Exercício 4.1.2. Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
y^{\prime}=e^{2 x}+y;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = e^{2x} + y
que é uma equação linear de primeira ordem. Vamos escrever na forma padrão
y' - y = e^{2x}
e usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) temos
P(x) = -1 \quad\text{e}\quad Q(x) = e^{2x}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=e^{-x} obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}e^{2x} = e^{x},
e o lado esquerdo é a derivada de \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int e^{x}dx = e^{x} + C.
Multiplicando por e^{x} e resolvendo para y
y = e^{x}\bigl(e^{x}+C\bigr) = e^{2x} + C\,e^{x},
onde C é a constante de integração.

Resposta

O fator integrante é \mu(x)=e^{-x}.
A solução geral é y=e^{2x}+C\,e^{x}, com C constante arbitrária.

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