Questão 4: Calcule as seguintes derivadas:
(10 pontos) f(x)=(\cos x+x)\left(x^{3}-2 x^{2}+\operatorname{tg} x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = (\cos x + x)\bigl(x^{3} - 2x^{2} + \tan x\bigr),
logo o conteúdo principal envolve a regra do produto e as derivadas de funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Sejam
u(x) = \cos x + x \quad\text{e}\quad v(x) = x^{3} - 2x^{2} + \tan x.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=\cos x + x, temos
u'(x) = -\sin x + 1.

Passo 4

Calculamos v'(x). Como v(x)=x^{3}-2x^{2}+\tan x, temos
v'(x) = 3x^{2} - 4x + \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituindo na fórmula da regra do produto, obtemos
f'(x) = \bigl(-\sin x + 1\bigr)\bigl(x^{3} - 2x^{2} + \tan x\bigr) + (\cos x + x)\bigl(3x^{2} - 4x + \operatorname{sec}^{2}x\bigr).

Resposta

f'(x) = \bigl(1 - \sin x\bigr)\bigl(x^{3} - 2x^{2} + \tan x\bigr) + (\cos x + x)\bigl(3x^{2} - 4x + \operatorname{sec}^{2}x\bigr).

Exercícios relacionados