Questão 2: Seja f a função definida por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} a-x^{2}, & \text { se } x>-2 \\\ b, & \text { se } x=-2 \\\\ -x-2, & \text { se } x<-2 \end{array}\right.
(a) ( 10 pontos) Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua em x=-2.
(b) ( 10 pontos) Considerando os valores de a e b encontrados no item anterior, use a definição de derivada para verificar se f é derivável em x=-2.
(c) (8 pontos) Reescreva a função f utilizando a=1 e b=-3 e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes em torno de x=-2\): \[f(x)= \begin{cases} a - x^2, & x>-2,\\\ b, & x=-2,\\\\ -\,x - 2, & x<-2. \end{cases}
Precisamos (a) impor continuidade em x=-2\], (b) verificar derivabilidade em \(x=-2 usando a definição, e (c) para a=1 e b=-3 reescrever f e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para f ser contínua em x=-2 devem coincidir as duas limites laterais e o valor em x=-2:
\lim_{x\to(-2)^+}f(x) =\lim_{x\to(-2)^+}(a - x^2) = a - (-2)^2 = a - 4,
\lim_{x\to(-2)^-}f(x) =\lim_{x\to(-2)^-}(-x - 2) =-(-2) - 2 = 0,
e f(-2)=b. Logo exigimos
a - 4 = 0 \quad\text{e}\quad b = 0.
Portanto a=4 e b=0.

Passo 3

Para testar derivabilidade em x=-2 usamos a definição
f'( -2)=\lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}.
No ramo à direita x>-2, com a=4, f(x)=4 - x^2, f(-2)=0:
\frac{f(x)-f(-2)}{x+2} =\frac{4 - x^2}{x+2} =\frac{-(x^2-4)}{x+2} =-(x-2),
que ao x\to-2^+ tende a -(-2-2)=4.
No ramo à esquerda x<-2, f(x)=-x-2, f(-2)=0:
\frac{f(x)-f(-2)}{x+2} =\frac{-x-2}{x+2} =-1,
constante, logo o limite à esquerda é -1.
Como 4\neq -1, f'( -2) não existe, isto é, f não é derivável em x=-2.

Passo 4

Agora fixamos a=1\) e \(b=-3\). A função reescrita é \[f(x)= \begin{cases} 1 - x^2, & x>-2,\\\\ -3, & x=-2,\\\\ -\,x - 2,& x<-2. \end{cases}
Esboço do gráfico:
  • Para x<-2\]: reta de inclinação \(-1, f(x)=-x-2, com ponto aberto em (-2,0).
  • Em x=-2: ponto sólido em (-2,-3).
  • Para x>-2: parábola y=1-x^2, com ponto aberto em (-2,-3).

Resposta

(a) a=4 e b=0.
(b) f não é derivável em x=-2.
(c)
f(x)= \begin{cases} 1 - x^2, & x>-2,\\\\ -3, & x=-2,\\\\ -\,x - 2,& x<-2, \end{cases}
com o gráfico descrito acima.

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