f(x)=\left\{\begin{array}{cc} a-x^{2}, & \text { se } x>-2 \\\ b, & \text { se } x=-2 \\\\ -x-2, & \text { se } x<-2 \end{array}\right.
(a) ( 10 pontos) Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua em x=-2.
(b) ( 10 pontos) Considerando os valores de a e b encontrados no item anterior, use a definição de derivada para verificar se f é derivável em x=-2.
(c) (8 pontos) Reescreva a função f utilizando a=1 e b=-3 e esboce o seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes em torno de x=-2\):
\[f(x)= \begin{cases} a - x^2, & x>-2,\\\ b, & x=-2,\\\\ -\,x - 2, & x<-2. \end{cases}
Precisamos (a) impor continuidade em x=-2\], (b) verificar derivabilidade em \(x=-2 usando a definição, e (c) para a=1 e b=-3 reescrever f e esboçar o gráfico.
Passo 2
Para f ser contínua em x=-2 devem coincidir as duas limites laterais e o valor em x=-2:
\lim_{x\to(-2)^+}f(x) =\lim_{x\to(-2)^+}(a - x^2) = a - (-2)^2 = a - 4,