Exercício 1: Resolva a seguinte equação diferencial acoplada
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais acopladas
O que se pede: encontrar a solução geral
e
.\n
Informações dadas e observações úteis:
Informações dadas e observações úteis:
-
, e são parâmetros constantes (assumimos constantes reais). - Não foram dadas condições iniciais, então a resposta será a solução geral com constantes de integração.
- Cada equação envolve derivadas de segunda ordem em
, acopladas entre e .
Passo 2
Truque padrão para desacoplar: defino as derivadas primeiras como novas variáveis. Seja
Então as equações se tornam um sistema de primeira ordem para
e
:
Explicação:
e
. Esse passo reduz a ordem e transforma o problema num sistema linear de 1ª ordem — frequentemente mais fácil de manipular.
Passo 3
Desacoplo eliminando
. Diferencio a primeira equação
em relação a
:
Agora substituo
pela segunda equação:
Reorganizando,
Comentário didático: obtivemos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante constante. Resolver essa equação é padrão: soma da solução homogênea com uma particular.
Passo 4
Resolvo primeiro a equação homogênea associada
Equação característica:
daí
. Portanto a solução homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.\n
Explicação didática: quando as raízes são puramente imaginárias , as soluções são combinações de
e
. Esses representam movimentos oscilatórios com frequência
.
Explicação didática: quando as raízes são puramente imaginárias
Passo 5
Procuro uma solução particular
da equação completa
Como o termo do lado direito é constante, tento
. Seja
. Substituindo:
Logo a solução geral para
é
Comentário: esse procedimento se chama método dos coeficientes indeterminados; aqui funcionou muito bem porque o forçante é constante.
Passo 6
Retorno a
usando
, isto é
. Calculo
:
Dividindo por
,
Observação: o termo constante
de
tem derivada zero, por isso não aparece em
.
Passo 7
Agora integro
e
para obter
e
.
Integro
:
Integrando termo a termo:
onde
é constante de integração.
Integro
:
onde
é outra constante de integração.
Explicação passo a passo da integração:
e
. Sempre lembrar do fator
ao integrar funções trigonométricas com argumento
.
Passo 8
Relação com condições iniciais (útil para a prova): se forem dadas
então podemos identificar as constantes
. Avaliando em
:
Assim, com condições iniciais conhecidas, você acha
e obtém
e
explicitamente.
Passo 9
Resumo didático final e checagem rápida: a solução mostra uma componente linear em
em
(provinda do termo constante
em
), sobreposta a oscilações de frequência
em ambas as variáveis. É sempre bom conferir que ao derivar
e
duas vezes e substituir de volta nas equações originais as identidades se mantêm — isso valida o procedimento.
Resposta
onde
são constantes de integração (determináveis por condições iniciais).