Exercício 1: Resolva a seguinte equação diferencial acoplada
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\omega \frac{d z}{d t}, \quad \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\omega\left(\frac{E}{B}-\frac{d y}{d t}\right) .

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais acopladas
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\omega \frac{d z}{d t},\qquad \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\omega\Big(\frac{E}{B}-\frac{d y}{d t}\Big).
O que se pede: encontrar a solução geral y(t) e z(t).\n
Informações dadas e observações úteis:
  • \omega, E e B são parâmetros constantes (assumimos constantes reais).
  • Não foram dadas condições iniciais, então a resposta será a solução geral com constantes de integração.
  • Cada equação envolve derivadas de segunda ordem em t, acopladas entre y e z.

Passo 2

Truque padrão para desacoplar: defino as derivadas primeiras como novas variáveis. Seja
u(t)=\frac{d y}{d t},\qquad v(t)=\frac{d z}{d t}.
Então as equações se tornam um sistema de primeira ordem para u e v:
u'=\omega v,
v'=\omega\Big(\frac{E}{B}-u\Big).
Explicação: u'=\dfrac{d^2 y}{dt^2} e v'=\dfrac{d^2 z}{dt^2}. Esse passo reduz a ordem e transforma o problema num sistema linear de 1ª ordem — frequentemente mais fácil de manipular.

Passo 3

Desacoplo eliminando v. Diferencio a primeira equação u'=\omega v em relação a t:
u''=\omega v'.
Agora substituo v' pela segunda equação:
u''=\omega\cdot \omega\Big(\frac{E}{B}-u\Big)=\omega^{2}\Big(\frac{E}{B}-u\Big).
Reorganizando,
u''+\omega^{2}u=\omega^{2}\frac{E}{B}.
Comentário didático: obtivemos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante constante. Resolver essa equação é padrão: soma da solução homogênea com uma particular.

Passo 4

Resolvo primeiro a equação homogênea associada
u''+\omega^{2}u=0.
Equação característica: r^{2}+\omega^{2}=0 daí r=\pm i\omega. Portanto a solução homogênea é
u_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.\n
Explicação didática: quando as raízes são puramente imaginárias \pm i\omega, as soluções são combinações de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Esses representam movimentos oscilatórios com frequência \omega.

Passo 5

Procuro uma solução particular u_{p} da equação completa
u''+\omega^{2}u=\omega^{2}\frac{E}{B}.
Como o termo do lado direito é constante, tento u_{p}=\text{constante}. Seja u_{p}=\alpha. Substituindo:
0+\omega^{2}\alpha=\omega^{2}\frac{E}{B}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{E}{B}.
Logo a solução geral para u é
u(t)=\frac{E}{B}+C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t).
Comentário: esse procedimento se chama método dos coeficientes indeterminados; aqui funcionou muito bem porque o forçante é constante.

Passo 6

Retorno a v usando u'=\omega v, isto é v=\dfrac{1}{\omega}u'. Calculo u':
u'(t)= -\omega C_{1}\sin(\omega t)+\omega C_{2}\cos(\omega t).
Dividindo por \omega,
v(t)=\frac{d z}{d t}=C_{2}\cos(\omega t)-C_{1}\sin(\omega t).
Observação: o termo constante \dfrac{E}{B} de u tem derivada zero, por isso não aparece em v.

Passo 7

Agora integro u e v para obter y e z.
Integro u=\dfrac{d y}{d t}:
y(t)=\int u(t)\,dt=\int\Big(\frac{E}{B}+C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\Big)dt.
Integrando termo a termo:
y(t)=\frac{E}{B}\,t+\frac{C_{1}}{\omega}\sin(\omega t)-\frac{C_{2}}{\omega}\cos(\omega t)+C_{3},
onde C_{3} é constante de integração.
Integro v=\dfrac{d z}{d t}:
z(t)=\int v(t)\,dt=\int\big(C_{2}\cos(\omega t)-C_{1}\sin(\omega t)\big)dt,
z(t)=\frac{C_{2}}{\omega}\sin(\omega t)+\frac{C_{1}}{\omega}\cos(\omega t)+C_{4},
onde C_{4} é outra constante de integração.
Explicação passo a passo da integração: \int\cos(\omega t)\,dt=\dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t) e \int\sin(\omega t)\,dt=-\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega t). Sempre lembrar do fator 1/\omega ao integrar funções trigonométricas com argumento \omega t.

Passo 8

Relação com condições iniciais (útil para a prova): se forem dadas
y(0)=y_{0},\quad y'(0)=u_{0},\quad z(0)=z_{0},\quad z'(0)=v_{0},
então podemos identificar as constantes C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}. Avaliando em t=0:
u(0)=u_{0}=\frac{E}{B}+C_{1}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=u_{0}-\frac{E}{B},
v(0)=v_{0}=C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=v_{0},
y(0)=y_{0}=-\frac{C_{2}}{\omega}+C_{3}\quad\Rightarrow\quad C_{3}=y_{0}+\frac{C_{2}}{\omega},
z(0)=z_{0}=\frac{C_{1}}{\omega}+C_{4}\quad\Rightarrow\quad C_{4}=z_{0}-\frac{C_{1}}{\omega}.
Assim, com condições iniciais conhecidas, você acha C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} e obtém y(t) e z(t) explicitamente.

Passo 9

Resumo didático final e checagem rápida: a solução mostra uma componente linear em t em y(t) (provinda do termo constante \dfrac{E}{B} em u), sobreposta a oscilações de frequência \omega em ambas as variáveis. É sempre bom conferir que ao derivar y(t) e z(t) duas vezes e substituir de volta nas equações originais as identidades se mantêm — isso valida o procedimento.

Resposta

y(t)=\frac{E}{B}\,t+\frac{C_{1}}{\omega}\sin(\omega t)-\frac{C_{2}}{\omega}\cos(\omega t)+C_{3},
z(t)=\frac{C_{2}}{\omega}\sin(\omega t)+\frac{C_{1}}{\omega}\cos(\omega t)+C_{4},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes de integração (determináveis por condições iniciais).

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