Questão 10 - O nível de desempenho
de um trabalhador em uma linha de montagem satisfaz o modelo
onde
é o desempenho máximo possível e
é constante.
Suponha que
, que o trabalhador produza 25 unidades na primeira hora e 45 unidades na segunda hora.
a) Resolva a equação diferencial para
.
b) Determine as constantes do modelo.
c) Estime o desempenho máximo do trabalhador.
d) Determine o número de unidades produzidas após 5 horas.
Suponha que
a) Resolva a equação diferencial para
b) Determine as constantes do modelo.
c) Estime o desempenho máximo do trabalhador.
d) Determine o número de unidades produzidas após 5 horas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com
e
constantes. As condições iniciais/informações numéricas são:
-
. - O trabalhador produz
unidades na primeira hora (isto é, ). - O trabalhador produz
unidades na segunda hora (isto é, ).
O que o problema pede:
a) Resolver a equação diferencial para .
b) Determinar as constantes do modelo (isto é, pelo menos e
).
c) Estimar o desempenho máximo .
d) Determinar o número de unidades produzidas após horas (isto é, calcular
).
a) Resolver a equação diferencial para
b) Determinar as constantes do modelo (isto é, pelo menos
c) Estimar o desempenho máximo
d) Determinar o número de unidades produzidas após
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação diferencial de forma geral. Reescrevendo a equação:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante
tal que
; escolhemos
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Portanto
Integrando ambos os lados em
,
onde
é constante de integração. Isolando
,
Passo 3
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
em
dá
Logo
. Substituindo em
obtemos a solução particular
Comentário didático: essa forma faz sentido fisicamente —
parte de
e tende assintoticamente para
quando
, com rapidez governada por
.
Passo 4
Agora usamos os dados
e
para determinar
e
. Substituindo na solução:
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Usamos a fatoração
. Assim o quociente simplifica para
. Então
Definindo
temos
, portanto
Logo
Valor numérico aproximado:
Passo 5
Com
podemos determinar
usando
:
Como
, temos
Portanto
(unidades por hora, interpretação de
).
Passo 6
Escrevendo a solução completa com os valores encontrados:
Verificação rápida (útil na prova): para
,
e para
,
conferindo os dados.
Passo 7
Finalmente calculamos o desempenho após
horas:
Calculemos
.
Então
Então
Interpretação: após
horas o nível de desempenho é aproximadamente
unidades por hora.
Resposta
(a)
(b)
(c) Desempenho máximo estimado: unidades por hora.
(d) unidades por hora.
(b)
(c) Desempenho máximo estimado:
(d)