Exercício 4. Encontre a forma canônica de Jordan associada \tilde{\mathrm{A}} s matrizes A e B e uma base em que cada uma dessas matrizes estarão nessa forma, onde:
Rápida revisão prática (sem jargões pesados). Para achar a forma de Jordan devemos:
calcular o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(\lambda I - M) e achar os autovalores e suas multiplicidades algébricas (raízes do polinômio, com multiplicidade);
para cada autovalor \lambda_0 determinar a multiplicidade geométrica, isto é \dim\ker(M-\lambda_0 I) — o número de autovetores linearmente independentes;
comparar multiplicidade algébrica e geométrica: se iguais, blocos de Jordan são 1×1; se algébrica maior que geométrica, existem blocos maiores e precisamos construir cadeias generalizadas (autovetor v tal que (M-\lambda I)v=0 e vetores w com (M-\lambda I)w=v, etc.);
uma cadeia de comprimento k gera um bloco de Jordan J_k(\lambda) (um bloco k\times k com \lambda na diagonal e 1 na superdiagonal);
a base de Jordan é formada por vetores dessas cadeias (cada cadeia: primeiro o autovetor, depois os generalizados, nessa ordem).
Vou aplicar isso passo a passo em A e em B.
Passo 3
Característico de A. Calcular \chi_A(\lambda)=\det(\lambda I - A).
Subtraindo a terceira da primeira: obtemos x=0\]. Com \(x=0 a terceira eq. dá -y+z=0\Rightarrow z=y. Assim os vetores são (0,y,y)=y(0,1,1). Portanto um autovetor para \lambda=1 é
v^{(1)}=(0,1,1).
A multiplicidade geométrica para \lambda=1 é 1 (corresponde à multiplicidade algébrica 1).]
Da terceira equação vem x=y\]. Então da primeira segue \(z=0. Assim os autovetores têm a forma (t,t,0)=t(1,1,0). Portanto a multiplicidade geométrica para \lambda=2 é \dim\ker(A-2I)=1 (menor que a algébrica 2), logo haverá um bloco de Jordan de ordem 2 associado a \lambda=2.]
Passo 6
Construção da cadeia generalizada para \lambda=2\) em \(A\).
Escolhemos o autovetor \(v^{(2)}=(1,1,0)\) para \(\lambda=2\). Precisamos de um vetor \(u\) tal que
\[(A-2I)u = v^{(2)}.
Escrevendo u=(a,b,c) e usando A-2I da etapa anterior, obtemos o sistema:
Então a cadeia de Jordan para \lambda=2 é \{v^{(2)},\,u\}=\{(1,1,0),\,(0,0,1)\}, onde o autovetor vem primeiro (essa ordem garante a forma padrão do bloco).]
Passo 7
Verificações finais para A (para garantir que a base produz de fato o bloco de Jordan):
A v^{(2)} = 2 v^{(2)} (autovetor);
A u = v^{(2)} + 2 u (pois (A-2I)u=v^{(2)});
A v^{(1)} = 1\cdot v^{(1)}.
Os vetores escolhidos são linearmente independentes. Por exemplo, a matriz cujas colunas são esses vetores
tem determinante -1\ne0. Na base \mathcal{B}_A=\{v^{(2)},u,v^{(1)}\} a matriz de A tem a forma de Jordan com um bloco 2\times2 para 2 e um bloco 1\times1 para 1:
Então Nx=0\iff5y+z=0, sem restrição sobre x. Assim os autovetores são
(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,-5).
A dimensão do espaço próprio é 2 (geométr. = 2), menor que a multiplicidade algébrica 3. Logo há um bloco de ordem 2 e um bloco de ordem 1 (as partições de 3 com duas partes são 2+1).]
Passo 11
Construção de cadeia generalizada para B. Precisamos escolher qual autovetor será a imagem de N (lembre que N tem imagem unidimensional: \operatorname{Im}N=\{(t,0,0)\}). Para ter (B-2I)u=v com solução u, o vetor v deve estar em \operatorname{Im}N, ou seja ser da forma (t,0,0). Então escolhemos o autovetor que será a base do bloco 2\times2 igual a e_1=(1,0,0) (que está em \operatorname{Im}N). Outro autovetor independente é w=(0,1,-5).
Agora resolvemos N u = e_1. Escrevendo u=(a,b,c), temos 5b+c=1. Escolhemos a solução simples b=0,c=1,a=0, isto é u=(0,0,1). Verificação:
N(0,0,1)^T=(1,0,0)^T.
Portanto a cadeia de Jordan para B é \{e_1=(1,0,0),\\ u=(0,0,1)\}, com e_1 primeiro (autovetor) e u generalizado. Vetor adicional independente próprio é w=(0,1,-5).
Passo 12
Verificações finais para B:
B e_1 = 2 e_1.
B u = e_1 + 2 u (porque (B-2I)u = e_1).
B w = 2 w.
As três colunas (1,0,0), (0,0,1), (0,1,-5) são L.I. (determinante da matriz formada é -1). Na base \mathcal{B}_B=\{e_1, u, w\} a matriz de B é
isto é, um bloco 2\times2 de Jordan para 2 e um bloco 1\times1 para 2.]
Passo 13
Conclusão compacta (o que importa na prova): ambas as matrizes são semelhantes a uma matriz de Jordan com um bloco 2\times2 associado ao autovalor 2 e um bloco 1\times1 associado ao outro autovalor. Em A o bloco 1\times1 corresponde ao autovalor 1; em B o bloco 1\times1 também corresponde a 2 (porque em B o autovalor único é 2).