Exercício 4. Encontre a forma canônica de Jordan associada \tilde{\mathrm{A}} s matrizes A e B e uma base em que cada uma dessas matrizes estarão nessa forma, onde:
A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 5 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede, para cada uma:
  • encontrar a forma canônica de Jordan (a matriz de Jordan \tilde{A} associada);
  • fornecer uma base em que a matriz esteja nessa forma.
Matrizes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 2

Rápida revisão prática (sem jargões pesados). Para achar a forma de Jordan devemos:
  • calcular o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(\lambda I - M) e achar os autovalores e suas multiplicidades algébricas (raízes do polinômio, com multiplicidade);
  • para cada autovalor \lambda_0 determinar a multiplicidade geométrica, isto é \dim\ker(M-\lambda_0 I) — o número de autovetores linearmente independentes;
  • comparar multiplicidade algébrica e geométrica: se iguais, blocos de Jordan são 1×1; se algébrica maior que geométrica, existem blocos maiores e precisamos construir cadeias generalizadas (autovetor v tal que (M-\lambda I)v=0 e vetores w com (M-\lambda I)w=v, etc.);
  • uma cadeia de comprimento k gera um bloco de Jordan J_k(\lambda) (um bloco k\times k com \lambda na diagonal e 1 na superdiagonal);
  • a base de Jordan é formada por vetores dessas cadeias (cada cadeia: primeiro o autovetor, depois os generalizados, nessa ordem).
Vou aplicar isso passo a passo em A e em B.

Passo 3

Característico de A. Calcular \chi_A(\lambda)=\det(\lambda I - A).
\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-3 & 1 & -1\\[4pt] -2 & \lambda & -1\\[4pt] -1 & 1 & \lambda-2 \end{pmatrix}.
Fazendo o determinante (desenvolvimento ou operações elementares) obtém-se
\chi_A(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4.
Fatorando:
\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)^2.
Logo os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).]

Passo 4

Autovetores de A\) para \(\lambda=1\). Resolver \((A-I)x=0\). \[A-I= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Sistema:
\begin{cases} 2x-y+z=0,\\\\ 2x-y+z=0,\\\ x-y+z=0. \end{cases}
Subtraindo a terceira da primeira: obtemos x=0\]. Com \(x=0 a terceira eq. dá -y+z=0\Rightarrow z=y. Assim os vetores são (0,y,y)=y(0,1,1). Portanto um autovetor para \lambda=1 é
v^{(1)}=(0,1,1).
A multiplicidade geométrica para \lambda=1 é 1 (corresponde à multiplicidade algébrica 1).]

Passo 5

Autovetores de A\) para \(\lambda=2\). Resolver \((A-2I)x=0\). \[A-2I= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Sistema:
\begin{cases} x-y+z=0,\\\\ 2x-2y+z=0,\\\ x-y=0. \end{cases}
Da terceira equação vem x=y\]. Então da primeira segue \(z=0. Assim os autovetores têm a forma (t,t,0)=t(1,1,0). Portanto a multiplicidade geométrica para \lambda=2 é \dim\ker(A-2I)=1 (menor que a algébrica 2), logo haverá um bloco de Jordan de ordem 2 associado a \lambda=2.]

Passo 6

Construção da cadeia generalizada para \lambda=2\) em \(A\). Escolhemos o autovetor \(v^{(2)}=(1,1,0)\) para \(\lambda=2\). Precisamos de um vetor \(u\) tal que \[(A-2I)u = v^{(2)}.
Escrevendo u=(a,b,c) e usando A-2I da etapa anterior, obtemos o sistema:
\begin{cases} a-b+c=1,\\\\ 2a-2b+c=1,\\\ a-b=0. \end{cases}
Da terceira equação: a=b\]. Substituindo, a primeira dá \(c=1. Portanto uma solução simples é u=(0,0,1) (escolhendo a=b=0). Verificação direta:
(A-2I)\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} = v^{(2)}.
Então a cadeia de Jordan para \lambda=2 é \{v^{(2)},\,u\}=\{(1,1,0),\,(0,0,1)\}, onde o autovetor vem primeiro (essa ordem garante a forma padrão do bloco).]

Passo 7

Verificações finais para A (para garantir que a base produz de fato o bloco de Jordan):
  • A v^{(2)} = 2 v^{(2)} (autovetor);
  • A u = v^{(2)} + 2 u (pois (A-2I)u=v^{(2)});
  • A v^{(1)} = 1\cdot v^{(1)}.
Os vetores escolhidos são linearmente independentes. Por exemplo, a matriz cujas colunas são esses vetores
P_A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
tem determinante -1\ne0. Na base \mathcal{B}_A=\{v^{(2)},u,v^{(1)}\} a matriz de A tem a forma de Jordan com um bloco 2\times2 para 2 e um bloco 1\times1 para 1:
J_A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Resumo para A:
  • polinômio característico \chi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)^2;
  • cadeia de Jordan para \lambda=2: (1,1,0) (autovetor) e (0,0,1) (generalizado);
  • autovetor para \lambda=1: (0,1,1);
  • forma de Jordan J_A dada em (Passo 7).
Agora passo para B.

Passo 9

Característico de B. Como B é triangular superior com diagonal 2,2,2,
\chi_B(\lambda)=(\lambda-2)^3.
Então autovalor único \lambda=2 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 10

Eigenspace de B. Calcular N:=B-2I:
N= \begin{pmatrix} 0 & 5 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Queremos \ker(N). Para x=(x,y,z),
N x = \big(5y+z,\;0,\;0\big)^T.
Então Nx=0 \iff 5y+z=0, sem restrição sobre x. Assim os autovetores são
(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,-5).
A dimensão do espaço próprio é 2 (geométr. = 2), menor que a multiplicidade algébrica 3. Logo há um bloco de ordem 2 e um bloco de ordem 1 (as partições de 3 com duas partes são 2+1).]

Passo 11

Construção de cadeia generalizada para B. Precisamos escolher qual autovetor será a imagem de N (lembre que N tem imagem unidimensional: \operatorname{Im}N=\{(t,0,0)\}). Para ter (B-2I)u=v com solução u, o vetor v deve estar em \operatorname{Im}N, ou seja ser da forma (t,0,0). Então escolhemos o autovetor que será a base do bloco 2\times2 igual a e_1=(1,0,0) (que está em \operatorname{Im}N). Outro autovetor independente é w=(0,1,-5).
Agora resolvemos N u = e_1. Escrevendo u=(a,b,c), temos 5b+c=1. Escolhemos a solução simples b=0,c=1,a=0, isto é u=(0,0,1). Verificação:
N(0,0,1)^T=(1,0,0)^T.
Portanto a cadeia de Jordan para B é \{e_1=(1,0,0),\\ u=(0,0,1)\}, com e_1 primeiro (autovetor) e u generalizado. Vetor adicional independente próprio é w=(0,1,-5).

Passo 12

Verificações finais para B:
  • B e_1 = 2 e_1.
  • B u = e_1 + 2 u (porque (B-2I)u = e_1).
  • B w = 2 w.
    As três colunas (1,0,0), (0,0,1), (0,1,-5) são L.I. (determinante da matriz formada é -1). Na base \mathcal{B}_B=\{e_1, u, w\} a matriz de B é
J_B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
isto é, um bloco 2\times2 de Jordan para 2 e um bloco 1\times1 para 2.]

Passo 13

Conclusão compacta (o que importa na prova): ambas as matrizes são semelhantes a uma matriz de Jordan com um bloco 2\times2 associado ao autovalor 2 e um bloco 1\times1 associado ao outro autovalor. Em A o bloco 1\times1 corresponde ao autovalor 1; em B o bloco 1\times1 também corresponde a 2 (porque em B o autovalor único é 2).

Resposta

Para A:
\tilde{A}=J_A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \text{base } \mathcal{B}_A=\big\{(1,1,0),\\ (0,0,1),\\ (0,1,1)\big\}.
Para B:
\tilde{B}=J_B= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \text{base } \mathcal{B}_B=\big\{(1,0,0),\\ (0,0,1),\\ (0,1,-5)\big\}.]

Exercícios relacionados