Exercício 2. Seja p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-5) \lambda, para \lambda \in \mathbb{C}, o polinômio característico do operador linear T \in \mathcal{L}(V), onde \operatorname{dim} V(2)=2.
(a) Qual a dimensão do espaço vetorial real (V,+, \cdot) ?
(b) Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear T ?
(c) O operador linear T é um operador linear inversível?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece o polinômio característico
p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-5)\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{C}.
  • Também informa que \dim V(2)=2. Aqui isto significa que o espaço próprio (eigenspace) relativo ao autovalor 2 tem dimensão 2; ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2.
O enunciado pergunta:
(a) Qual a dimensão do espaço vetorial real (V,+,\cdot)?
(b) Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear T?
(c) O operador T é invertível?
Não faço desenvolvimento de cálculo neste passo — apenas enumerei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Interpretação do polinômio característico: o grau do polinômio e as multiplicidades algébricas.
  • O polinômio característico tem grau 3+1+1=5. O grau do polinômio característico coincide com a dimensão do espaço sobre o corpo sobre o qual o operador é considerado (se estivermos considerando V como espaço vetorial complexo).
  • Assim, como p_T(\lambda) foi dado para \lambda\in\mathbb{C}, a interpretação natural é que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{C} com dimensão complexa \dim_{\mathbb{C}}V=5.
  • Da fatoração vemos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
    • autovalor 2 com multiplicidade algébrica 3;
    • autovalor 5 com multiplicidade algébrica 1;
    • autovalor 0 com multiplicidade algébrica 1.
Vou explicar o porquê desses conceitos (algébrica vs geométrica) antes de usar.

Passo 3

Conceitos: multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica, blocos de Jordan.
  • Multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda_0 é a potência com que (\lambda-\lambda_0) aparece em p_T(\lambda). É o número total de raízes iguais a \lambda_0, contando multiplicidade.
  • Multiplicidade geométrica de \lambda_0 é \dim\ker(T-\lambda_0 I), ou seja, a dimensão do espaço próprio associado a \lambda_0. Esse número é igual ao número de blocos de Jordan associados a \lambda_0.
  • Uma decomposição de Jordan para um autovalor \lambda_0 com multiplicidade algébrica a consiste em particionar a em tamanhos de blocos positivos cuja quantidade é igual à multiplicidade geométrica g. Cada bloco é uma matriz de Jordan J_k(\lambda_0) de tamanho k, que tem \lambda_0 na diagonal, 1s na superdiagonal e zeros em outro lugar.
Exemplo curto para fixar: se um autovalor tem multiplicidade algébrica 4 e multiplicidade geométrica 2, os possíveis tamanhos de blocos (partições de 4 em 2 partes) são 3+1 ou 2+2. Cada uma dá uma forma de Jordan distinta (não similar entre si).

Passo 4

Aplicando os conceitos ao autovalor \lambda=2.
  • Para \lambda=2 temos multiplicidade algébrica a=3 (pois (\lambda-2)^3 aparece em p_T).
  • O enunciado diz que a multiplicidade geométrica é g=\dim V(2)=2. Pelo que vimos, isto significa que o número de blocos de Jordan para \lambda=2 é 2.
  • Assim devemos particionar o inteiro 3 em 2 inteiros positivos: a única partição possível é 2+1.
  • Conclusão: os blocos de Jordan para o autovalor 2 são exatamente um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1, isto é, J_2(2) e J_1(2).
Vou explicar que isso é único aqui: dado a=3 e g=2, não há outra forma de obter dois blocos cuja soma dos tamanhos seja 3 além de 2 e 1.

Passo 5

Formas de Jordan para os demais autovalores e montagem da forma canônica completa.
  • Para \lambda=5 a multiplicidade algébrica é 1. Então só pode haver um bloco J_1(5)=[5].
  • Para \lambda=0 a multiplicidade algébrica é 1. Então há um bloco J_1(0)=[0].
  • Portanto a forma de Jordan (sobre \mathbb{C}) é a matriz diagonal-por-blocos (ordem dos blocos indiferente):
J=\operatorname{diag}\bigl(J_2(2),\,J_1(2),\,J_1(5),\,J_1(0)\bigr).
  • Explicitação dos blocos:
    • J_2(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}, \qquad J_1(2)=(2), \qquad J_1(5)=(5), \qquad J_1(0)=(0).
  • Observação sobre unicidade: a forma de Jordan (especificando os tamanhos dos blocos para cada autovalor) é determinada pelos dados das multiplicidades algébrica e geométrica. Dado que para \lambda=2 já foi fixado a=3 e g=2, não há outras possibilidades — portanto só existe essa forma canônica (até permutar blocos).
Também posso deduzir o polinômio mínimo: como o maior tamanho de bloco para \lambda=2 é 2, para \lambda=5 é 1 e para \lambda=0 é 1, o polinômio mínimo é
m_T(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-5)\lambda.]

Passo 6

Resposta à pergunta sobre invertibilidade.
  • Um operador linear T é invertível se, e somente se, 0 não é autovalor de T.
  • Aqui 0 aparece como fator de p_T(\lambda) (multiplicidade algébrica 1). Logo 0 é autovalor de T.
  • Portanto T NÃO é invertível.

Resposta

(a) \dim_{\mathbb{R}}V=10.
(b) A forma canônica de Jordan (sobre \mathbb{C}) é, até permutar blocos,
\operatorname{diag}\bigl(J_2(2),\,J_1(2),\,J_1(5),\,J_1(0)\bigr),
isto é, um bloco 2\times2 de Jordan para 2, um bloco 1\times1 para 2, e blocos 1\times1 para 5 e para 0.
(c) Não; T não é invertível (porque 0 é autovalor de T).

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