Exercício 2. Seja
, para
, o polinômio característico do operador linear
, onde
.
(a) Qual a dimensão do espaço vetorial real
?
(b) Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear
?
(c) O operador linear
é um operador linear inversível?
(a) Qual a dimensão do espaço vetorial real
(b) Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear
(c) O operador linear
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece o polinômio característico
- Também informa que
. Aqui isto significa que o espaço próprio (eigenspace) relativo ao autovalor tem dimensão ; ou seja, a multiplicidade geométrica de é .
O enunciado pergunta:
(a) Qual a dimensão do espaço vetorial real ?
(b) Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear ?
(c) O operador é invertível?
(a) Qual a dimensão do espaço vetorial real
(b) Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear
(c) O operador
Não faço desenvolvimento de cálculo neste passo — apenas enumerei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Interpretação do polinômio característico: o grau do polinômio e as multiplicidades algébricas.
- O polinômio característico tem grau
. O grau do polinômio característico coincide com a dimensão do espaço sobre o corpo sobre o qual o operador é considerado (se estivermos considerando como espaço vetorial complexo). - Assim, como
foi dado para , a interpretação natural é que é um espaço vetorial sobre com dimensão complexa . - Da fatoração vemos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
- autovalor
com multiplicidade algébrica ; - autovalor
com multiplicidade algébrica ; - autovalor
com multiplicidade algébrica .
- autovalor
Vou explicar o porquê desses conceitos (algébrica vs geométrica) antes de usar.
Passo 3
Conceitos: multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica, blocos de Jordan.
- Multiplicidade algébrica de um autovalor
é a potência com que aparece em . É o número total de raízes iguais a , contando multiplicidade. - Multiplicidade geométrica de
é , ou seja, a dimensão do espaço próprio associado a . Esse número é igual ao número de blocos de Jordan associados a . - Uma decomposição de Jordan para um autovalor
com multiplicidade algébrica consiste em particionar em tamanhos de blocos positivos cuja quantidade é igual à multiplicidade geométrica . Cada bloco é uma matriz de Jordan de tamanho , que tem na diagonal, 1s na superdiagonal e zeros em outro lugar.
Exemplo curto para fixar: se um autovalor tem multiplicidade algébrica
e multiplicidade geométrica
, os possíveis tamanhos de blocos (partições de
em
partes) são
ou
. Cada uma dá uma forma de Jordan distinta (não similar entre si).
Passo 4
Aplicando os conceitos ao autovalor
.
- Para
temos multiplicidade algébrica (pois aparece em ). - O enunciado diz que a multiplicidade geométrica é
. Pelo que vimos, isto significa que o número de blocos de Jordan para é . - Assim devemos particionar o inteiro
em inteiros positivos: a única partição possível é . - Conclusão: os blocos de Jordan para o autovalor
são exatamente um bloco de tamanho e um bloco de tamanho , isto é, e .
Vou explicar que isso é único aqui: dado
e
, não há outra forma de obter dois blocos cuja soma dos tamanhos seja
além de
e
.
Passo 5
Formas de Jordan para os demais autovalores e montagem da forma canônica completa.
- Para
a multiplicidade algébrica é . Então só pode haver um bloco . - Para
a multiplicidade algébrica é . Então há um bloco . - Portanto a forma de Jordan (sobre
) é a matriz diagonal-por-blocos (ordem dos blocos indiferente):
- Explicitação dos blocos:
-
- Observação sobre unicidade: a forma de Jordan (especificando os tamanhos dos blocos para cada autovalor) é determinada pelos dados das multiplicidades algébrica e geométrica. Dado que para
já foi fixado e , não há outras possibilidades — portanto só existe essa forma canônica (até permutar blocos).
Também posso deduzir o polinômio mínimo: como o maior tamanho de bloco para
é
, para
é
e para
é
, o polinômio mínimo é
Passo 6
Resposta à pergunta sobre invertibilidade.
- Um operador linear
é invertível se, e somente se, não é autovalor de . - Aqui
aparece como fator de (multiplicidade algébrica ). Logo é autovalor de . - Portanto
NÃO é invertível.
Resposta
(a)
.
(b) A forma canônica de Jordan (sobre
) é, até permutar blocos,
isto é, um bloco
de Jordan para
, um bloco
para
, e blocos
para
e para
.
(c) Não;
não é invertível (porque
é autovalor de
).