Use o método de Frobenius para obter duas soluções em série linearmente independentes em torno de x=0. Forme a solução geral em (0, \infty).
2 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+(2 x-1) y=0

Passo 1

A equação diferencial é
2x^{2}y''+3x\,y'+(2x-1)y=0,
que tem em x=0 um ponto singular regular. Vamos buscar soluções da forma de Frobenius
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r},\quad a_{0}\neq0,
onde r é o expoente indicial a determinar e os a_{n} satisfazem uma relação de recorrência.

Passo 2

Substituindo
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r},\quad y'=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)x^{n+r-1},\quad y''=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)(n+r-1)x^{n+r-2},
na EDO e coletando o menor expoente x^{r} (isto é, no termo n=0) obtemos a equação indicial:
2\,r(r-1)+3\,r-1=0 \quad\Longrightarrow\quad 2r^2+r-1=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{-1\pm3}{4},
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r_{1}=\tfrac12, \quad r_{2}=-1.

Passo 3

Para n\ge1, coletando o coeficiente de x^{n+r} surge a recorrência
2(n+r)(n+r-1)a_{n}+3(n+r)a_{n}-a_{n}+2a_{n-1}=0
\Longrightarrow a_{n}\bigl[2(n+r)^2+(n+r)-1\bigr] +2\,a_{n-1}=0
\Longrightarrow a_{n} =-\frac{2\,a_{n-1}} {2(n+r)^{2}+(n+r)-1}.

Passo 4

Escolhendo a_{0}=1, calculamos as primeiras parcelas para cada r.
Para r_{1}=\tfrac12:
a_{1}=-\frac{2}{2\bigl(1+\tfrac12\bigr)^{2}+(1+\tfrac12)-1} =-\frac{2}{5}, \quad a_{2}=-\frac{2\,a_{1}}{2\bigl(2+\tfrac12\bigr)^{2}+(2+\tfrac12)-1} =\frac{2}{35},
portanto
y_{1}(x) =x^{\tfrac12}\Bigl[ 1-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{2}{35}x^{2}+\cdots \Bigr].
Para r_{2}=-1:
a_{1}=-\frac{2}{2\,(0)^{2}+0-1}=2, \quad a_{2}=-\frac{2\cdot2}{2\,(1)^{2}+1-1}=-2,
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y_{2}(x) =x^{-1}\Bigl[1+2x-2x^{2}+\cdots\Bigr].

Passo 5

Como r_{1}-r_{2}=\tfrac32\notin\mathbb{Z}, as duas séries são independentes. A solução geral em (0,\infty) é
y(x) =C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x) =C_{1}\,x^{\tfrac12}\Bigl(1-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{2}{35}x^{2}+\cdots\Bigr) +C_{2}\,x^{-1}\Bigl(1+2x-2x^{2}+\cdots\Bigr).

Resposta

y(x)=C_{1}\,x^{\tfrac12}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{(1)}x^{n} \;+\; C_{2}\,x^{-1}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{(2)}x^{n},
com a_{0}^{(1)}=a_{0}^{(2)}=1 e a recorrência
a_{n}=-\frac{2\,a_{n-1}}{2(n+r)^{2}+(n+r)-1},
para r=\tfrac12 ou r=-1.

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