Resolva o Problema de Valor Inicial de 3^{\mathrm{a}} ordem:
\left\{\begin{array}{c} 4 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 3ª ordem com coeficientes constantes
4y''' + y' + 5y = 0
sujeita a
y(0)=3,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=-1.
Para isso, vamos (i) montar a equação característica, (ii) obter a solução geral em função de constantes C_1,C_2,C_3, e (iii) usar as condições iniciais para determinar essas constantes.

Passo 2

A equação característica associada é
4r^3 + r + 5 = 0.
Testando r=-1 vemos que
4(-1)^3 + (-1) + 5 = -4 -1 +5 = 0,
logo (r+1) é fator. Fazendo divisão polinomial ou coeficiente-sintético, obtemos
4r^3 + r +5 = (r+1)(4r^2 - 4r +5).
As raízes de 4r^2 -4r +5=0 são
r = \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2 -4\cdot4\cdot5}}{8} = \frac{4\pm\sqrt{-64}}{8} = \frac12 \pm i.
Portanto as raízes são
r_1=-1,\quad r_2=\tfrac12 + i,\quad r_3=\tfrac12 - i.

Passo 3

Como temos uma raiz real simples -1 e um par complexo conjugado \tfrac12\pm i, a solução geral é
y(t) = C_1 e^{-t} \;+\; e^{t/2}\bigl(C_2\cos t + C_3\sin t\bigr).

Passo 4

Calculamos y'(t) e y''(t), avaliamos em t=0 e impomos as condições iniciais.
Derivando e usando e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0, obtemos o sistema
\begin{cases} y(0)=C_1 + C_2 = 3,\\\ y'(0)=-C_1 + \bigl(\tfrac12C_2 + C_3\bigr) = 0,\\\ y''(0)=C_1 + \Bigl(-\tfrac{3}{4}C_2 + C_3\Bigr) = -1. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema acima encontra-se
C_1 = \frac{11}{13},\quad C_2 = \frac{28}{13},\quad C_3 = -\frac{3}{13}.

Resposta

\boxed{y(t) = \frac{11}{13}\,e^{-t} \;+\; e^{t/2}\!\Bigl(\frac{28}{13}\cos t \;-\;\frac{3}{13}\sin t\Bigr).}

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