Exercício 5 Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{12 x^{3}-5 x+2}{1+4 x^{2}+3 x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{12x^{3}-5x+2}{1+4x^{2}+3x^{3}}}.
É um problema de limites de funções racionais dentro de raiz. Para resolver, vamos usar a técnica de fatorar a maior potência de x em numerador e denominador.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^{3} em cima e embaixo:
\sqrt{\frac{12x^{3}-5x+2}{1+4x^{2}+3x^{3}}} =\sqrt{\frac{x^{3}\bigl(12-\tfrac{5}{x^{2}}+\tfrac{2}{x^{3}}\bigr)}{x^{3}\bigl(3+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)}}.

Passo 3

Como x^{3}>0 para x\to\infty, podemos cancelar x^{3} dentro da raiz:
\sqrt{\frac{12-\tfrac{5}{x^{2}}+\tfrac{2}{x^{3}}}{3+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^{3}}}}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite em cada termo com x\to\infty: \tfrac{5}{x^{2}}\to0, \tfrac{2}{x^{3}}\to0, \tfrac{4}{x}\to0, \tfrac{1}{x^{3}}\to0.
Logo o quociente dentro da raiz tende a
\frac{12-0+0}{3+0+0}=\frac{12}{3}=4.
Portanto a raiz tende a \sqrt{4}=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados