Exercício 5 Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-x+4}{2 x^{2}+5 x-8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} - x + 4}{2x^{2} + 5x - 8}.
Este é um caso de limite de uma função racional no infinito. Para resolver, vamos usar a ideia de dividir numerador e denominador pelo maior grau de x, que aqui é x^{2}.

Passo 2

Dividimos cada termo do numerador e do denominador por x^{2}. Assim, temos
\frac{3x^{2} - x + 4}{2x^{2} + 5x - 8} = \frac{\displaystyle \frac{3x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} {\displaystyle \frac{2x^{2}}{x^{2}} + \frac{5x}{x^{2}} - \frac{8}{x^{2}}} = \frac{3 - \tfrac{1}{x} + \tfrac{4}{x^{2}}}{2 + \tfrac{5}{x} - \tfrac{8}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora observamos o comportamento de cada termo quando x \to \infty: \tfrac{1}{x} \to 0 e \tfrac{4}{x^{2}} \to 0 no numerador; \tfrac{5}{x} \to 0 e \tfrac{8}{x^{2}} \to 0 no denominador.

Passo 4

Portanto, ao fazer x \to \infty, a expressão simplifica para
\frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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