Exercício 5 Encontre o limite:
\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{1-\tan x}{x-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \pi/4} \frac{1-\tan x}{\,x-\cos x\,}.
Estamos diante de um limite de uma função real; basta verificar o valor de cada parte ao substituir x=\pi/4.

Passo 2

Calculamos o numerador em x=\pi/4:
1-\tan\bigl(\pi/4\bigr)=1-1=0.
Logo o numerador tende a 0.

Passo 3

Calculamos o denominador em x=\pi/4:
\pi/4-\cos\bigl(\pi/4\bigr) =\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Note que \pi/4\approx0,785 e \sqrt{2}/2\approx0,707, então
\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\neq0.
O denominador tende a uma constante não nula.

Passo 4

Como o numerador tende a 0 e o denominador a uma constante diferente de zero, pelo limite de quociente temos
\lim_{x\to \pi/4} \frac{1-\tan x}{\,x-\cos x\,} =\frac{0}{\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}} =0.

Resposta

0

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