Questão:
Resolva o PVI
\frac{d y}{d x}=y^{2}-4, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=y^{2}-4,\quad y(0)=1
O conteúdo principal é EDO de primeira ordem separável. Para resolver, vamos separar variáveis, usar frações parciais e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Em seguida, integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{y^{2}-4}=\int dx.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, decomponha em frações parciais:
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\Bigr).
Logo,
\int \frac{dy}{y^{2}-4} =\frac{1}{4}\int\Bigl(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\Bigr)dy =\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr|+C.
E a integração do lado direito dá simplesmente x+C'. Reunindo constantes, obtemos
\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr|=x+C.

Passo 4

Multiplicando por 4 e exponenciando, chega-se a
\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr|=4x+C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-2}{y+2}=Ae^{4x},
onde A=e^{C_{1}} já incorpora o sinal. Usando y(0)=1, temos
\frac{1-2}{1+2}=-\tfrac{1}{3}=A\cdot e^{0} \;\Longrightarrow\; A=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo A e resolvendo para y:
\frac{y-2}{y+2}=-\tfrac{1}{3}e^{4x} \;\Longrightarrow\; 3(y-2)=-e^{4x}(y+2) \;\Longrightarrow\; 3y-6=-e^{4x}y-2e^{4x}
\Rightarrow\; y\,(3+e^{4x})=6-2e^{4x} \;\Longrightarrow\; y(x)=\frac{6-2e^{4x}}{3+e^{4x}}.

Resposta

y(x)=\frac{6-2e^{4x}}{3+e^{4x}}.

Exercícios relacionados