Resolva o PVI
\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}-y}{x-3 y^{2}}, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - y}{\,x - 3y^2\,},\quad y(1)=0.
Isso é um caso de equação diferencial exata (ou verificável como tal), pois podemos colocá-la na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e checar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - y}{x - 3y^2} \;\Longrightarrow\; (x - 3y^2)\,dy - (3x^2 - y)\,dx = 0.
Logo definimos
M(x,y) = -\bigl(3x^2 - y\bigr) = -3x^2 + y, \qquad N(x,y) = x - 3y^2.

Passo 3

Verificamos exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y).
Integrando M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int(-3x^2 + y)\,dx = -x^3 + x\,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Então
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; N(x,y)=x - 3y^2 \;\Longrightarrow\; h'(y) = -3y^2 \;\Longrightarrow\; h(y) = -y^3.
Assim
\Phi(x,y) = -x^3 + x\,y - y^3.

Passo 5

A solução geral implícita é
\Phi(x,y) = C \;\Longrightarrow\; -x^3 + x\,y - y^3 = C.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo em \Phi(1,0)=C:
-1^3 + 1\cdot0 - 0^3 = -1 = C.
Portanto a solução particular fica
-x^3 + x\,y - y^3 = -1 \;\Longrightarrow\; x^3 - x\,y + y^3 = 1.

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por
x^3 - x\,y + y^3 = 1.

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