Utilizando a transformada de Laplace resolva o PVI
\ddot{x}+4 x=\sin t, x(0)=0, \dot{x}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\ddot{x}+4x=\sin t,\quad x(0)=0,\;\dot{x}(0)=0
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{\dot x\}=sX(s)-x(0), \quad \mathcal{L}\{\ddot x\}=s^2X(s)-s\,x(0)-\dot x(0),
além de \mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em toda a equação, obtemos
\mathcal{L}\{\ddot x\}+4\,\mathcal{L}\{x\} = \mathcal{L}\{\sin t\} \;\Longrightarrow\; \bigl(s^2X(s)\bigr)+4X(s) =\frac{1}{s^2+1},
pois as condições iniciais fazem os termos subtraídos caírem.

Passo 3

Colocando X(s) em evidência, vem
X(s)\,(s^2+4) =\frac{1}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad X(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais assumindo
\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+4}.
Multiplicando por (s^2+1)(s^2+4) e igualando coeficientes dá
1=A(s^2+4)+B(s^2+1) =(A+B)s^2+(4A+B),
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A+B=0,\quad 4A+B=1 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac{1}{3},\;B=-\tfrac{1}{3}.
Assim
X(s) =\frac{1/3}{s^2+1}-\frac{1/3}{s^2+4}.

Passo 5

Voltando pela transformada inversa, usamos \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}=\sin t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+4}\}=\tfrac12\sin(2t). Então
x(t) =\frac{1}{3}\sin t -\frac{1}{3}\,\frac12\sin(2t) =\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{6}\sin(2t).

Resposta

x(t)=\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{6}\sin(2t).

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