Resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
\frac{d x}{d t}=y-1
\begin{aligned} & \frac{d y}{d t}=-3 x+2 y \\\ & x(0)=0, y(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Sistema:
\frac{d x}{d t}=y-1
\frac{d y}{d t}=-3x+2y
  • Condições iniciais:
x(0)=0,\qquad y(0)=0
O que pede: encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos manipular as equações para obter uma única equação escalar para x(t). Da primeira equação isolamos y:
y=\frac{d x}{d t}+1.
Agora diferenciamos essa expressão em relação a t para obter d y/dt em termos de x:
\frac{d y}{d t}=\frac{d^2 x}{d t^2}.
Pela segunda equação do sistema temos também \dfrac{d y}{d t}=-3x+2y. Substituindo y=\dfrac{d x}{d t}+1 nessa expressão obtemos uma equação só em x.

Passo 3

Fazendo a substituição descrita:
\frac{d^2 x}{d t^2}=-3x+2\Big(\frac{d x}{d t}+1\Big).
Distribuindo o 2:
\frac{d^2 x}{d t^2}=-3x+2\frac{d x}{d t}+2.
Reorganizando para a forma padrão:
\frac{d^2 x}{d t^2}-2\frac{d x}{d t}+3x=2.
Temos, portanto, uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea para x(t).

Passo 4

Estudo da equação homogênea associada:
\frac{d^2 x}{d t^2}-2\frac{d x}{d t}+3x=0.
A equação característica é
r^2-2r+3=0.
Calculando as raízes:
r=\frac{2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-8}}{2}=1\pm i\sqrt{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas 1\pm i\sqrt{2}, a solução geral da homogênea é da forma
x_h(t)=e^{t}\big(A\cos(\sqrt{2}\,t)+B\sin(\sqrt{2}\,t)\big),
onde A e B são constantes a determinar.
Explicação curta (didática): quando a equação característica tem raízes \alpha\pm i\beta, a solução real da homogênea é e^{\alpha t}(C\cos\beta t + D\sin\beta t). Aqui \alpha=1 e \beta=\sqrt{2}.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular x_p(t) da equação completa
x''-2x'+3x=2.
O lado direito é uma constante ( 2), então tentamos uma solução particular constante x_p=C. Substituindo x_p=C na equação dá:
0-0+3C=2\quad\Rightarrow\quad C=\frac{2}{3}.
Portanto
x_p(t)=\frac{2}{3}.

Passo 6

A solução geral para x(t) é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{t}\big(A\cos(\sqrt{2}\,t)+B\sin(\sqrt{2}\,t)\big)+\frac{2}{3},
com A,B constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 7

Precisamos de y(t). Usamos a relação y=x'+1 (vista no Passo 2). Então vamos calcular x'(t).
Derivando x(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}\Big[e^{t}\big(A\cos(\sqrt{2}\,t)+B\sin(\sqrt{2}\,t)\big)\Big].
Usamos a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas:
x'(t)=e^{t}\big(A\cos(\sqrt{2}\,t)+B\sin(\sqrt{2}\,t)\big)+e^{t}\big(-A\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}\,t)+B\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}\,t)\big).
Agrupando termos:
x'(t)=e^{t}\Big[(A+B\sqrt{2})\cos(\sqrt{2}\,t)+(B-A\sqrt{2})\sin(\sqrt{2}\,t)\Big].
Logo
y(t)=x'(t)+1=1+e^{t}\Big[(A+B\sqrt{2})\cos(\sqrt{2}\,t)+(B-A\sqrt{2})\sin(\sqrt{2}\,t)\Big].

Passo 8

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar A e B.
Para t=0:
  • Da expressão de x(t):
x(0)=A+\frac{2}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{2}{3}.
  • Da expressão de y(t):
    Primeiro calcule x'(0) usando a fórmula de x'(t):
x'(0)=(A+B\sqrt{2})\cdot 1+(B-A\sqrt{2})\cdot 0=A+B\sqrt{2}.
Então
y(0)=x'(0)+1=A+B\sqrt{2}+1=0.
Substituindo A=-\dfrac{2}{3}:
-\frac{2}{3}+B\sqrt{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{3}+B\sqrt{2}=0.
Portanto
B\sqrt{2}=-\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{6}.

Passo 9

Substituímos A e B nas fórmulas finais e simplificamos as expressões.
Para x(t):
x(t)=e^{t}\Big(-\frac{2}{3}\cos(\sqrt{2}\,t)-\frac{\sqrt{2}}{6}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big)+\frac{2}{3}.
Para y(t) podemos usar a forma y=1+x'. Note que já calculámos constantes combinadas em x': com A=-\dfrac{2}{3} e B=-\dfrac{\sqrt{2}}{6},
A+B\sqrt{2}=-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot\sqrt{2}=-\frac{2}{3}-\frac{2}{6}=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=-1,
B-A\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{6}-\Big(-\frac{2}{3}\Big)\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\Big(-\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\Big)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
x'(t)=e^{t}\Big[-\cos(\sqrt{2}\,t)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big].
E, finalmente,
y(t)=1+e^{t}\Big[-\cos(\sqrt{2}\,t)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big].

Passo 10

Breve verificação (opcional e rápida): em t=0,
x(0)= -\frac{2}{3}\cdot 1 -\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot 0 +\frac{2}{3}=0,
x'(0)= -\cos 0 +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0 = -1,
y(0)=1+x'(0)=1-1=0,
portanto as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

x(t)=e^{t}\Big(-\dfrac{2}{3}\cos(\sqrt{2}\,t)-\dfrac{\sqrt{2}}{6}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big)+\dfrac{2}{3}\n
y(t)=1+e^{t}\Big(-\cos(\sqrt{2}\,t)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big)

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