Resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Sistema:
- Condições iniciais:
O que pede: encontrar as funções
e
que satisfazem o sistema e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos manipular as equações para obter uma única equação escalar para
. Da primeira equação isolamos
:
Agora diferenciamos essa expressão em relação a
para obter
em termos de
:
Pela segunda equação do sistema temos também
. Substituindo
nessa expressão obtemos uma equação só em
.
Passo 3
Fazendo a substituição descrita:
Distribuindo o
:
Reorganizando para a forma padrão:
Temos, portanto, uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea para
.
Passo 4
Estudo da equação homogênea associada:
A equação característica é
Calculando as raízes:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Explicação curta (didática): quando a equação característica tem raízes
, a solução real da homogênea é
. Aqui
e
.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
O lado direito é uma constante (
), então tentamos uma solução particular constante
. Substituindo
na equação dá:
Portanto
Passo 6
A solução geral para
é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 7
Precisamos de
. Usamos a relação
(vista no Passo 2). Então vamos calcular
.
Derivando
:
Usamos a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas:
Agrupando termos:
Logo
Passo 8
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Para
:
- Da expressão de
:
- Da expressão de
:
Primeiro calculeusando a fórmula de :
Então
Substituindo
:
Portanto
Passo 9
Substituímos
e
nas fórmulas finais e simplificamos as expressões.
Para
:
Para
podemos usar a forma
. Note que já calculámos constantes combinadas em
: com
e
,
Logo
E, finalmente,
Passo 10
Breve verificação (opcional e rápida): em
,
portanto as condições iniciais são satisfeitas.