Exercício 2) Encontre, onde existir, as derivadas parciais das funções dadas a seguir:
f(x, y)=x^2y;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2y
e pede as derivadas parciais de f em relação a x e a y. O conteúdo envolvido é a diferenciação parcial, usando a regra do fator constante e a regra de potência.

Passo 2

Antes de derivar, identificamos o domínio de f. Como há divisão por y, precisamos ter
yneq0
Portanto as derivadas só existem para yneq0.

Passo 3

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante. Escrevemos
f(x,y)=1y,x^2
e aplicamos a regra do fator constante: a derivada de x^2 é 2x, então
partial fpartial x =1ycdot2x =2xy

Passo 4

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante. Podemos reescrever
f(x,y)=x^2,y^-1
e aplicar a regra de potência em y^-1: a derivada de y^-1 é -1,y^-2. Logo
partial fpartial y =x^2cdot(-1),y^-2 =-x^2y^2

Resposta

partial fpartial x(x,y)=2xy, partial fpartial y(x,y)=-x^2y^2, yneq0

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