Exercício 5. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
e seu intervalo de convergência. Para isso vamos usar manipulação algébrica (simplificação e frações parciais) e a fórmula da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, note que
. Então
Passo 3
Lembrando a série geométrica: para
vale
Aqui colocamos
, pois queremos
. Logo
Passo 4
Multiplicando por
para obter
:
Passo 5
A série geométrica converge se e somente se
. Nos pontos
o denominador zera e a série diverge. Portanto o intervalo de convergência é