Exercício 5. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
\frac{x-1}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=\frac{x-1}{1-x^{2}}
e seu intervalo de convergência. Para isso vamos usar manipulação algébrica (simplificação e frações parciais) e a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, note que x-1=-(1-x). Então
f(x)=\frac{x-1}{1-x^{2}} =-\frac{1-x}{(1-x)(1+x)} =-\frac{1}{1+x}.

Passo 3

Lembrando a série geométrica: para |z|<1 vale
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}.
Aqui colocamos z=-x, pois queremos \frac{1}{1+ x}=\frac{1}{1-(-x)}. Logo
\frac{1}{1+x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.

Passo 4

Multiplicando por -1 para obter f(x):
f(x)=-\frac{1}{1+x} =-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{n}.

Passo 5

A série geométrica converge se e somente se |x|<1. Nos pontos x=\pm1 o denominador zera e a série diverge. Portanto o intervalo de convergência é
-1<x<1.

Resposta

\frac{x-1}{1-x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{n}, \quad\text{para }-1<x<1.

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