Exercício 5. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
\frac{x}{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências para
f(x)=\frac{x}{4 - x^2}
e o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a expansão de uma série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a ficar no formato \tfrac{1}{1 - u}. Note que
\frac{x}{4 - x^2} = \frac{x}{4}\;\frac{1}{1 - \frac{x^2}{4}}.

Passo 3

Usamos a fórmula da série geométrica
\frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n,
válida para |u|<1. Aqui u = \tfrac{x^2}{4}, logo
\frac{1}{1 - \tfrac{x^2}{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} \Bigl(\tfrac{x^2}{4}\Bigr)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{4^{n}}.
Multiplicando por \tfrac{x}{4}, obtemos
\frac{x}{4 - x^2} = \frac{x}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{4^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{4^{\,n+1}}.

Passo 4

Para convergência precisamos de \bigl|\tfrac{x^2}{4}\bigr|<1, isto é
|x|<2.
Nos pontos x=\pm2 a série se torna uma soma de constantes não nulas e diverge.

Resposta

\frac{x}{4 - x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{4^{\,n+1}}, \quad |x|<2.

Exercícios relacionados