Exercício 4. Encontre o raio de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!} x^{n} \quad \text { e } \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{3}}{(3 n)!} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência de duas séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!} x^{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{3}}{(3n)!} x^{n}.
Para isso vamos usar o teste da razão, que diz que, sendo a_n o n-ésimo coeficiente, se
L = \lim_{n\to\infty} \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|
então o raio de convergência é R = 1/L, se L\neq0,\infty.

Passo 2

Para a primeira série definimos
a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}.
Calculamos a razão entre termos consecutivos via
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^2/(2n+2)!}{(n!)^2/(2n)!} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{n+1}{2\,(2n+1)}.
Tomando o limite para n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(2n+1)} = \frac{1}{4}.
Logo, pelo teste da razão, o raio de convergência R_1 satisfaz
R_1 = \frac{1}{1/4} = 4.

Passo 3

Para a segunda série definimos
b_n = \frac{(n!)^3}{(3n)!}.
O quociente entre termos consecutivos é
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^3/(3n+3)!}{(n!)^3/(3n)!} = \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = \frac{(n+1)^2}{3\,(3n+2)(3n+1)}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{3(3n+2)(3n+1)} = \frac{1}{27}.
Portanto, o raio de convergência R_2 é
R_2 = \frac{1}{1/27} = 27.

Resposta

O raio de convergência da primeira série é 4 e da segunda série é 27.

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