Exercício 5. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
\frac{x}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências de
f(x)=\frac{x}{1 - x^{2}}
centrada em 0 e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo principal é a expansão em série geométrica.

Passo 2

Lembramos que para |t|<1 vale
\frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Aqui fazemos t = x^{2}, obtendo
\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.
Multiplicando por x, vem
\frac{x}{1 - x^{2}} = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}.

Passo 3

Para a convergência da série geométrica precisamos de |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Nos extremos x=\pm1 a série
\sum x^{2n+1} torna-se
\sum(\pm1)^{2n+1}=\sum(\pm1), que diverge.

Resposta

A série de potências é
\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}
e o intervalo de convergência é \,(-1,1).

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