Exercício 6. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre derivação e integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
\operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede uma representação por séries de potências de \operatorname{arctg}x, aplicando o teorema de derivação e integração de séries de potências. Lembramos que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}x\bigr)=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 2

Para \lvert x\rvert<1, escrevemos
\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}.
Essa série de potências converge para \lvert x\rvert<1, logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a x:
\operatorname{arctg}x = \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}\,dt = \int_{0}^{x}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}\,dt = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
A constante de integração é zero pois \operatorname{arctg}0=0.

Resposta

\operatorname{arctg}x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad R=1.

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