Exercício 6. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre derivação e integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
, usando o teorema de diferenciação e integração de séries de potências, e também o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Começamos calculando a derivada de
:
Para
, podemos usar a série geométrica alternada
com
. Logo,
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
até
, lembrando que
:
Portanto,
Passo 4
A série de
converge para
, isto é,
. Como a integração não altera o raio de convergência interiormente, o raio de convergência de
é