Exercício 6. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre derivação e integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
f(x)=\operatorname{arctg} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de f(x)=\arctan(2x), usando o teorema de diferenciação e integração de séries de potências, e também o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(2x)\bigr] = \frac{2}{1+(2x)^{2}} =2\cdot\frac{1}{1+(2x)^{2}}.
Para \lvert 2x\rvert<1, podemos usar a série geométrica alternada
\frac{1}{1+u^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{2n},
com u=2x. Logo,
f'(x) =2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(2x)^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{2n+1}x^{2n}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 até x, lembrando que \arctan(0)=0:
f(x) =\int_{0}^{x}f'(t)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{2n+1}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{2n+1}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Portanto,
\arctan(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\,x^{2n+1}.

Passo 4

A série de f'(x) converge para \lvert 2x\rvert<1, isto é, \lvert x\rvert<\tfrac12. Como a integração não altera o raio de convergência interiormente, o raio de convergência de \arctan(2x) é
R=\tfrac12.

Resposta

\arctan(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\,x^{2n+1}, \quad R=\tfrac12.

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