Exercício 6. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre derivação e integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
\frac{8 x}{(1+4 x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede uma representação por séries de potências de \frac{8x}{(1+4x)^2}. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série geométrica e o teorema de derivação de séries de potências, que permite derivar termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Começamos com a série geométrica
\frac{1}{1+4x} \;=\;\sum_{n=0}^\infty (-4x)^n,
válida para |4x|<1.

Passo 3

Aplicamos o teorema de derivação: derivando termo a termo,
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{1+4x}\Bigr) =\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty(-4x)^n \quad\Longrightarrow\quad \frac{-4}{(1+4x)^2} =\sum_{n=1}^\infty(-4)^n n\,x^{n-1}.
Note que o somatório agora começa em n=1, pois o termo n=0 some ao derivar.

Passo 4

Isolando \frac{1}{(1+4x)^2} e multiplicando por 8x, obtemos
\frac{1}{(1+4x)^2} =-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty(-4)^n n\,x^{n-1},
\frac{8x}{(1+4x)^2} =-\frac{8x}{4}\sum_{n=1}^\infty(-4)^n n\,x^{n-1} =-2\sum_{n=1}^\infty(-4)^n n\,x^n.

Passo 5

Para simplificar o coeficiente, observamos
-2(-4)^n=-2(-1)^n4^n=(-1)^{n-1}2\cdot4^n.
Logo a série de potências final é
\frac{8x}{(1+4x)^2} =\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\,2\,4^n\,n\,x^n.

Passo 6

O raio de convergência vem da condição |4x|<1, ou seja
|x|<\frac{1}{4}.

Resposta

\boxed{ \frac{8x}{(1+4x)^2} =\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\,2\,4^n\,n\,x^n, \quad R=\tfrac{1}{4}. }

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