Exercício 6. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre derivação e integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede uma representação por séries de potências de
. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série geométrica e o teorema de derivação de séries de potências, que permite derivar termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Começamos com a série geométrica
válida para
.
Passo 3
Aplicamos o teorema de derivação: derivando termo a termo,
Note que o somatório agora começa em
, pois o termo
some ao derivar.
Passo 4
Isolando
e multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Para simplificar o coeficiente, observamos
Logo a série de potências final é
Passo 6
O raio de convergência vem da condição
, ou seja