Exercício 6. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre derivação e integração de séries de potências. Determine o raio de convergência. f(x)=\ln (4+x)
Passo 1
O enunciado pede para representar por série de potências a função
f(x)=\ln(4+x)
e determinar o raio de convergência. Vamos usar o teorema de derivação e integração de séries de potências: primeiro encontramos a série de f'(x) (que é mais simples), depois integramos termo a termo para voltar a f(x).
Passo 2
Calculemos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(4+x)=\frac{1}{4+x}.
Escrevendo \tfrac{1}{4+x}=\tfrac{1}{4}\,\tfrac{1}{1+{x}/{4}} e usando a série geométrica