Exercício 6. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre derivação e integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
f(x)=\ln (4+x)

Passo 1

O enunciado pede para representar por série de potências a função
f(x)=\ln(4+x)
e determinar o raio de convergência. Vamos usar o teorema de derivação e integração de séries de potências: primeiro encontramos a série de f'(x) (que é mais simples), depois integramos termo a termo para voltar a f(x).

Passo 2

Calculemos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(4+x)=\frac{1}{4+x}.
Escrevendo \tfrac{1}{4+x}=\tfrac{1}{4}\,\tfrac{1}{1+{x}/{4}} e usando a série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n,\quad |u|<1,
com u=\tfrac{x}{4}, obtemos
f'(x) =\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{4^{\,n+1}},
válido para \bigl|\tfrac{x}{4}\bigr|<1.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
f(x)=\int f'(x)\,dx =C+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int \frac{x^n}{4^{\,n+1}}\,dx =C+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{\,n+1}}{(n+1)\,4^{\,n+1}}.
Para achar a constante C, usamos f(0)=\ln(4+0)=\ln4. Substituindo x=0 na série, só sobra C, logo C=\ln4.

Passo 4

Reindexando a soma com k=n+1, obtemos
\ln(4+x) =\ln4+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k\,4^k} =\ln4+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n\,4^n}.

Passo 5

O critério de convergência vem de \bigl|\tfrac{x}{4}\bigr|<1, isto é |x|<4. Portanto, o raio de convergência é
R=4.

Resposta

\ln(4+x)=\ln4+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n\,4^n}, \qquad R=4.

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