Exercício 7. Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x)=x \operatorname{sen} 2 x, c=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (ou seja, em torno de c=0) para a função
f(x)=x\sin(2x),
e em seguida determinar para quais x essa série converge. Vamos usar a expansão conhecida de \sin z em torno de 0.

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de \sin z:
\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Basta substituir z=2x:
\sin(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}\,x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Multiplicando essa série por x para obter f(x)=x\sin(2x):
x\sin(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}\,x^{2n+2}}{(2n+1)!}.
Querendo, podemos reindexar com k=n+1, de modo que 2n+2=2k e 2n+1=2k-1. Isso leva a
x\sin(2x) =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k-1}\frac{2^{2k-1}\,x^{2k}}{(2k-1)!}.
Essa é a forma usual da série de Maclaurin de x\sin(2x).

Passo 4

Para verificar a convergência, aplicamos o critério da razão a um termo geral
a_n =(-1)^n\frac{2^{2n+1}\,x^{2n+2}}{(2n+1)!}.
Calculando
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{2n+3}|x|^{2n+4}/(2n+3)!}{2^{2n+1}|x|^{2n+2}/(2n+1)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{4\,x^2}{(2n+3)(2n+2)}=0.
Como o limite é 0 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=x\sin(2x) em torno de 0 é
x\sin(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}\,x^{2n+2}}{(2n+1)!} =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{2^{2k-1}\,x^{2k}}{(2k-1)!},
e ela converge para todo x\in\mathbb{R}.

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