Exercício 7. Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x)=\frac{1}{x}, c=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac{1}{x} em torno de c=2 e o intervalo de convergência. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série geométrica, aplicando-a a uma forma de f(x) reescrita como \tfrac{1}{1+u}.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{1}{x}=\frac{1}{2+(x-2)}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{1+\frac{x-2}{2}}.
Aqui definimos
u = \frac{x-2}{2},
de modo que f(x)=\tfrac{1}{2}\,(1+u)^{-1}.

Passo 3

Sabemos que, para \lvert u\rvert<1, vale a série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Substituindo u=(x-2)/2 e multiplicando por \tfrac12, obtemos
f(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x-2}{2}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-2)^{n}}{2^{\,n+1}}.

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é \lvert u\rvert<1, isto é
\Bigl\lvert\frac{x-2}{2}\Bigr\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x-2\rvert<2.
Logo a série converge para 0<x<4.

Resposta

\frac{1}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-2)^{n}}{2^{\,n+1}}, \quad\text{com convergência para }\lvert x-2\rvert<2.ê

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