1 Dados los vectores \mathbf{u}=(1,1,1) y \mathbf{v}=(2,-1,0), el ángulo entre ellos es:
(A) 0 grados
(B) 90 grados
(C) Ninguna de las anteriores

Passo 1

Tenemos los vectores \mathbf{u}=(1,1,1) y \mathbf{v}=(2,-1,0) y queremos hallar el ángulo \theta entre ellos. Vamos a usar la fórmula del producto escalar que relaciona \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, las normas \|\mathbf{u}\|, \|\mathbf{v}\| y el coseno del ángulo:
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.

Passo 2

Calculamos el producto escalar
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 1\cdot 2 + 1\cdot(-1) + 1\cdot 0 = 2 - 1 + 0 = 1.

Passo 3

Calculamos las normas de cada vector
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}, \quad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

Passo 4

Sustituimos en la fórmula del coseno
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{15}}.
Por lo tanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{15}}\bigr)\approx 67,8^\circ.
Este valor no es ni 0^\circ ni 90^\circ.

Resposta

(C) Ninguna de las anteriores.

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