Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
(c) y^prime=(y+9 x)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a solução geral da EDO
y' = (y + 9x)^2
Essa equação é de primeira ordem e não linear, mas podemos usar uma substituição que a transforme em um caso separável para depois integrar.

Passo 2

Definimos a substituição
u = y + 9x,
pois essa combinação aparece ao quadrado. Calculamos também sua derivada:
u' = dudx = dydx + 9 = y' + 9

Passo 3

Substituindo na equação original: como y' = nu' - 9 e y + 9x = nu, temos
nu' - 9 = nu^2
ou seja
nu' = nu^2 + 9,
que é uma EDO separável.

Passo 4

Separamos variáveis:
dnunu^2 + 9 = dx
Integrando ambos os lados e usando
integral dnunu^2 + a^2 = 1aarctan!l(tfracnuar),
tenhamos
integral dnunu^2 + 9 = integral dx Longrightarrow 13arctan!l(tfracnu3r) = x + C

Passo 5

Isolando nu: multiplicamos por 3 e aplicamos a tangente:
arctan!l(tfracnu3r) = 3x + C Longrightarrow nu = 3tan(3x + C)

Resposta

y(x) = 3 tan(3x + C) - 9x

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