Calcule a integral fazendo uma mudança de variáveis para coorenadas polares.
integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 1raiz1+x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla integraly=0^raiz2integralx=y^raiz4-y^21raiz1+x^2+y^2,dx,dy usando mudança para coordenadas polares. Esse exercício envolve duplas integrais e transformação de coordenadas.

Passo 2

Caracterização da região D: descrevemos D=(x,y):0<= y<=raiz2,;y<= x<=raiz4-y^2. Em coordenadas polares x=rcostheta,;y=rsintheta, as condições viram
y>=0 thetain[0,pi],
x>= y costheta>=sintheta thetain[0,pi/4],
x^2+y^2<=4 r<=2.
Logo, 0<=theta<=pi/4 e 0<= r<=2.

Passo 3

Mudança de variáveis e jacobiano: substituímos x=rcostheta, y=rsintheta. A função 1/raiz1+x^2+y^2 fica 1/raiz1+r^2 e o elemento de área dA=dx,dy vira r,dr,dtheta. Assim a integral passa a ser
integraltheta=0^pi/4integralr=0^2rraiz1+r^2,dr,dtheta

Passo 4

Cálculo da integral em r: fazemos a substituição u=1+r^2, du=2r,dr r,dr=du/2. Os limites em u vão de u(0)=1 até u(2)=5. Então
integralr=0^2rraiz1+r^2,dr =12integralu=1^5u^-1/2,du =l[u^1/2r]1^5 =raiz5-1

Passo 5

Cálculo da integral em theta: como a parte em r não depende de theta, temos
integral0^pi/4(raiz5-1),dtheta=(raiz5-1),pi4

Resposta

pi4,(raiz5-1)

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