Calcule a integral fazendo uma mudança de variáveis para coorenadas polares.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla
usando mudança para coordenadas polares. Esse exercício envolve duplas integrais e transformação de coordenadas.
Passo 2
Caracterização da região
: descrevemos
. Em coordenadas polares
, as condições viram
⇒
,
⇒
⇒
,
⇒
.
Logo, e
.
Logo,
Passo 3
Mudança de variáveis e jacobiano: substituímos
,
. A função
fica
e o elemento de área
vira
. Assim a integral passa a ser
Passo 4
Cálculo da integral em
: fazemos a substituição
,
⇒
. Os limites em
vão de
até
. Então
Passo 5
Cálculo da integral em
: como a parte em
não depende de
, temos