Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z). (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por partial f / partial x.)
w=1 / z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função w=1/z é analítica usando as equações de Cauchy-Riemann e, em caso afirmativo, determinar seu domínio de analiticidade e calcular f'(z) via partial f/partial x. Vamos precisar escrever w em termos de u(x,y) e v(x,y) e então aplicar as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy e então
w=1z=1x+iy=x-iyx^2+y^2,
logo definimos
u(x,y)=xx^2+y^2, v(x,y)=-yx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
ux=(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
uy=-2xy(x^2+y^2)^2,
vx=2xy(x^2+y^2)^2,
vy=-(x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora verificamos as equações de Cauchy-Riemann:
ux=y^2-x^2(x^2+y^2)^2, vy=y^2-x^2(x^2+y^2)^2(iguais),
uy=-2xy(x^2+y^2)^2, vx=2xy(x^2+y^2)^2(uy=-vx),
As igualdades valem sempre que x^2+y^2neq0, ou seja, para todo zneq0. Portanto w=1/z é analítica no domínio zin C: zneq0.

Passo 5

Para calcular a derivada usamos
f'(z)=partial fpartial x=ux+i,vx=y^2-x^2(x^2+y^2)^2+i,2xy(x^2+y^2)^2
Reconhecendo que y^2-x^2+2i xy=-(x+iy)^2=-z^2, obtemos
f'(z)=-z^2(x^2+y^2)^2=-1z^2

Resposta

A função w=1/z é analítica em zin C: zneq0 e sua derivada é f'(z)=-1/z^2.

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