Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
. (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por
.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é analítica usando as equações de Cauchy-Riemann e, em caso afirmativo, determinar seu domínio de analiticidade e calcular
via
. Vamos precisar escrever
em termos de
e
e então aplicar as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Escrevemos
e então
logo definimos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora verificamos as equações de Cauchy-Riemann:
As igualdades valem sempre que
, ou seja, para todo
. Portanto
é analítica no domínio
.
Passo 5
Para calcular a derivada usamos
Reconhecendo que
, obtemos
Resposta
A função
é analítica em
e sua derivada é
.